[Resolução] 10.14.14
Posted: 13 Oct 2022 07:04
Teste a convergência ou a divergência da seguinte série. Dê uma razão para a sua decisão.
\(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\)
Resolução:
Primeiro, analisa-se uma série mais simples, \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Pelo critério ou teste da raiz (teorema 10.12 do Apostol), \( \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt[n]{n}}{2}} = \frac{1}{2}\) (se você não enxergar isso, tente fazer \(\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\ln n ^\frac{1}{n}}\)). Visto que \(\frac{1}{2} < 1\), esta série converge.
Agora, vamos comparar o termo geral da nossa série original com o da que acabamos de manipular:
\(\frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n} \le \frac{n}{2^n} \forall n\), pois \(\frac{1}{4} \le \cos^2(\frac{n\pi}{3})\le 1 \Rightarrow \frac{n}{4} \le n\cos^2(\frac{n\pi}{3})\le n \forall n\). Isso nos dá que \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n} \ge \sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\).
Como \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n}\) converge e é maior que a série original, pelo critério da comparação (teorema 10.8 do Apostol), \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\) converge.
\(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\)
Resolução:
Primeiro, analisa-se uma série mais simples, \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Pelo critério ou teste da raiz (teorema 10.12 do Apostol), \( \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt[n]{n}}{2}} = \frac{1}{2}\) (se você não enxergar isso, tente fazer \(\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\ln n ^\frac{1}{n}}\)). Visto que \(\frac{1}{2} < 1\), esta série converge.
Agora, vamos comparar o termo geral da nossa série original com o da que acabamos de manipular:
\(\frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n} \le \frac{n}{2^n} \forall n\), pois \(\frac{1}{4} \le \cos^2(\frac{n\pi}{3})\le 1 \Rightarrow \frac{n}{4} \le n\cos^2(\frac{n\pi}{3})\le n \forall n\). Isso nos dá que \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n} \ge \sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\).
Como \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n}{2^n}\) converge e é maior que a série original, pelo critério da comparação (teorema 10.8 do Apostol), \(\sum_{i = 1}^\infty \frac{n\cos^2(\frac{n\pi}{3})}{2^n}\) converge.