[Resolução] 10.4.17
Posted: 18 Aug 2022 11:03
Para a sucessão \(|f(n)|\) dada pela fórmula: \(f(n)=(1+\frac{2}{n})^n\)
Deve-se:
(a) Dizer se a sucessão diverge ou converge.
(b) Determinar o limite caso seja convergente.
Para isso, levarei em conta a definição do número de Euler que é bem semelhante à fórmula em questão: \(e = lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)
A fórmula dada foi
\(f(n)=\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
Fazendo algumas alterações nela, obtemos
\(f(n)=\left[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
\(f(n)=\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
Então o seu limite com n tendendo a infinito pode ser expresso da seguinte forma:
\(lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
\(=lim_{n \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
Agora considerando um valor \(m=\frac{n}{2}\), sabendo que com \(n\to \infty\), m também vai tender à infinito, podemos substituir m na expressão acima.
Ficamos com:
\(=lim_{m \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\)
\(=\left[lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\)
Com isso, basta usar a expressão que define o valor de \(e\) descrita la em cima.
\(e=lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\)
\(\left[lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2=[e]^2\)
Sabemos então que:
\(lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=e^2\)
Conclui-se que a sucessão \(f(n)\) é convergente e converge para \(e^2\).
Deve-se:
(a) Dizer se a sucessão diverge ou converge.
(b) Determinar o limite caso seja convergente.
Para isso, levarei em conta a definição do número de Euler que é bem semelhante à fórmula em questão: \(e = lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)
A fórmula dada foi
\(f(n)=\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
Fazendo algumas alterações nela, obtemos
\(f(n)=\left[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
\(f(n)=\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
Então o seu limite com n tendendo a infinito pode ser expresso da seguinte forma:
\(lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
\(=lim_{n \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2\)
Agora considerando um valor \(m=\frac{n}{2}\), sabendo que com \(n\to \infty\), m também vai tender à infinito, podemos substituir m na expressão acima.
Ficamos com:
\(=lim_{m \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\)
\(=\left[lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\)
Com isso, basta usar a expressão que define o valor de \(e\) descrita la em cima.
\(e=lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\)
\(\left[lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2=[e]^2\)
Sabemos então que:
\(lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n=e^2\)
Conclui-se que a sucessão \(f(n)\) é convergente e converge para \(e^2\).