[Resolução] 11.7.4

[pedromonici]

Enunciado:
Determine o raio de convergência \(r\) da seguinte série de potência. Não se esqueça de testar a convergência para os limites do intervalo.
\(\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot 2^{2n}\cdot z^{2n}}{2n}\)

Resolução:
Isso é uma série alternada, logo temos:

\(\left| \frac{(-1)^n 2^{2n} z^{2n}}{2n} \right| = \frac{|2z|^{2n}}{2n}.\)

Se \(|2z| > 1\) então os termos não estão indo para \(0\), então a série é divergente. Se \(|2z| < 1\) então é monotonicamente decrescente, então sabemos (por Leibniz) que a série converge se e somente se:

\(\lim_{n \to \infty} \frac{|2z|^{2n}}{2n} = 0 \quad \iff \quad |z| \leq \frac{1}{2}.\)

Portanto, o raio de convergência é \(r = \frac{1}{2}\), e a série converge em todos os pontos de limite do intervalo \(|z| = \frac{1}{2}\).