[Resolução] 10.9.9
Posted: 12 Oct 2022 18:13
Prove que a série converge e tem o valor indicado.
\(\sum_{i = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1}(2n + 1)}{n(n + 1)} = 1\).
Resolução:
Seja \(c_n = \frac{(2n + 1)}{n(n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{(n + 1)} = \frac{A(n + 1) + B(n)}{n(n + 1)}\), tem-se o seguinte sistema de equações, ao compararmos termos semelhantes:
\(A + B = 2\)
\(A = 1\).
Logo, substituindo-se \(A = 1\) e \(B = 1\), \(c_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)}\). Voltemos à série original para lidar com o sinal:
\(\sum_{i = 1}^\infty (-1)^{n -1} c_n = \sum_{i = 1}^\infty (-1)^{n - 1} \cdot\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}\right) = \sum_{i = 1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n - 1}}{n} + \frac{(-1)(-1)(-1)^{n - 1}}{n + 1}\right] = \sum_{i = 1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{n + 1}\right]\)
Obtém-se uma série telescópica. Para facilitar na sua identificação do que representa cada termo:
\(a_n = \frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{n + 1} = b_n - b_{n + 1}\), onde \(b_n = \frac{(-1)^{n - 1}}{n}\) e \(b_{n + 1} = \frac{(-1)^n}{n + 1}\).
A série gerada por \(a_n\) converge se, e somente se, a sequência \({b_n}\) convergir (teorema 10.4 do Apostol).
Calculemos a soma parcial \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\).
\(S_n = \left(\frac{(-1)^0}{1} - \frac{(-1)^1}{2}\right) + \left(\frac{(-1)^1}{2} - \frac{(-1)^2}{3}\right) + \left(\frac{(-1)^2}{3} - \frac{(-1)^3}{4}\right) + ... + \left(\frac{(-1)^{n - 2}}{n - 1} - \frac{(-1)^{n - 1}}{n}\right) + \left(\frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{(n + 1)}\right)\).
Perceba que os termos se cancelam, de modo que: \(S_n = 1 - \frac{(-1)^n}{(n + 1)}\).
Por definição,
\(\sum_{i = 1}^\infty a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{(n + 1)} = 1\).
Portanto, a série gerada por \(a_n\) converge e é 1, como queríamos provar.
\(\sum_{i = 1}^\infty \frac{(-1)^{n - 1}(2n + 1)}{n(n + 1)} = 1\).
Resolução:
Seja \(c_n = \frac{(2n + 1)}{n(n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{(n + 1)} = \frac{A(n + 1) + B(n)}{n(n + 1)}\), tem-se o seguinte sistema de equações, ao compararmos termos semelhantes:
\(A + B = 2\)
\(A = 1\).
Logo, substituindo-se \(A = 1\) e \(B = 1\), \(c_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)}\). Voltemos à série original para lidar com o sinal:
\(\sum_{i = 1}^\infty (-1)^{n -1} c_n = \sum_{i = 1}^\infty (-1)^{n - 1} \cdot\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}\right) = \sum_{i = 1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n - 1}}{n} + \frac{(-1)(-1)(-1)^{n - 1}}{n + 1}\right] = \sum_{i = 1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{n + 1}\right]\)
Obtém-se uma série telescópica. Para facilitar na sua identificação do que representa cada termo:
\(a_n = \frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{n + 1} = b_n - b_{n + 1}\), onde \(b_n = \frac{(-1)^{n - 1}}{n}\) e \(b_{n + 1} = \frac{(-1)^n}{n + 1}\).
A série gerada por \(a_n\) converge se, e somente se, a sequência \({b_n}\) convergir (teorema 10.4 do Apostol).
Calculemos a soma parcial \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\).
\(S_n = \left(\frac{(-1)^0}{1} - \frac{(-1)^1}{2}\right) + \left(\frac{(-1)^1}{2} - \frac{(-1)^2}{3}\right) + \left(\frac{(-1)^2}{3} - \frac{(-1)^3}{4}\right) + ... + \left(\frac{(-1)^{n - 2}}{n - 1} - \frac{(-1)^{n - 1}}{n}\right) + \left(\frac{(-1)^{n - 1}}{n} - \frac{(-1)^n}{(n + 1)}\right)\).
Perceba que os termos se cancelam, de modo que: \(S_n = 1 - \frac{(-1)^n}{(n + 1)}\).
Por definição,
\(\sum_{i = 1}^\infty a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{(n + 1)} = 1\).
Portanto, a série gerada por \(a_n\) converge e é 1, como queríamos provar.