[Resolução] 10.20.47
Posted: 12 Oct 2022 18:11
Enunciado
Determine o conjunto dos reais x para os quais a série converge.
\(\sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{2^n \sin^{2n}x}{n}\)
Resolução
Podemos reescrever a série da seguinte forma: \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} (-2\sin^2 x)^n\)
Temos que a série converge se, e somente se, \(2 \sin^2 x \le 1\).
Desenvolvendo a expressão, precisamos encontrar os valores de x tais que \(\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}\), o que resulta em \(|x - k\pi| \le \frac{\pi}{4}\), para \(k \in \mathbb{Z}\).
Determine o conjunto dos reais x para os quais a série converge.
\(\sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \frac{2^n \sin^{2n}x}{n}\)
Resolução
Podemos reescrever a série da seguinte forma: \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} (-2\sin^2 x)^n\)
Temos que a série converge se, e somente se, \(2 \sin^2 x \le 1\).
Desenvolvendo a expressão, precisamos encontrar os valores de x tais que \(\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}\), o que resulta em \(|x - k\pi| \le \frac{\pi}{4}\), para \(k \in \mathbb{Z}\).