[Resolução] 10.14.16
Posted: 12 Oct 2022 17:38
Teste a convergência ou divergência da seguinte série:
$$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2}$$
Sabemos que:
$$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} $$
E também que:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$
Como a série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \) converge pelo critério da razão:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1) 2^n}{2^{n+1}n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} $$
Logo a série \( \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} \) também converge pelo critério da comparação.
$$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2}$$
Sabemos que:
$$ \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} $$
E também que:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$
Como a série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \) converge pelo critério da razão:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1) 2^n}{2^{n+1}n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} $$
Logo a série \( \sum_{n=1}^\infty ne^{-n^2} \) também converge pelo critério da comparação.