[Resolução] 10.14.3
Posted: 12 Oct 2022 17:31
Teste a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2^n} \) converge ou diverge e explique seus testes.
Testando a série a partir do critério da razão que nos diz que:
\( lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L \) e que \( L < 1 \) converge, então precisamos calcular o \( L \) e garantir que ele seja \( < 1 \)
\(
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n+1} = \frac{1}{2}
\)
Então pelo critério da razão explicado anteriormente sabemos que nossa série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2^n} \) converge.
Testando a série a partir do critério da razão que nos diz que:
\( lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L \) e que \( L < 1 \) converge, então precisamos calcular o \( L \) e garantir que ele seja \( < 1 \)
\(
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n+1} = \frac{1}{2}
\)
Então pelo critério da razão explicado anteriormente sabemos que nossa série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2^n} \) converge.