Considerando a sequência \(f(n)\) definida por:
\(f(n): \frac{1+(-1)^n}{n} \)
Determine se a sequência converge ou diverge, e se converge encontre o limite.
Resolução:
- Determinaremos o limite da sequência usando o Teorema do Sanduíche para mostrar que ela é convergente
- Podemos analisar que:
\( 0 \le \frac{1+(-1)^n}{n} \le \frac{2}{n} \)
Para todo \(n\), uma vez que:
\(
1 + (-1)^n = 0 \) para \(n\) ímpares, e \(
1 + (-1)^n = 2 \) para \(n\) pares.
- Já que:
\( \lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 \)
pelo Teorema do Sanduíche
ficamos então com:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)^n}{n} = 0 \).