Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Prove que:
$$ x + x^3 + x^5 ... = \frac{x}{1-x^2} $$

Utilizando o resultado do item anterior:
$$ 1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 .... = \frac{1}{1 - x^2} $$
E que:
$$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 .... = \frac{1}{1 - x} $$

Subtraindo um pro outro, temos:
$$ (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 ....) - (1 + 0 + x^2 + 0 + x^4 ....) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x^2} = \frac{-x(x-1)}{(1-x)(1-x^2)} = \bf \frac{x}{1-x^2} $$

Desse modo, resolvendo a equação está provado que:
$$ x + x^3 + x^5 ... = \bf \frac{x}{1-x^2} $$