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Enunciado
Cada uma das séries dos Exercícios 1 a 10 é uma série telescópica ou uma série geométrica ou alguma série cuja soma parcial pode simplificar-se. Em cada problema provar que a série converge e que a soma tem o valor indicado.
\(
\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}
\)

Resolução
Podemos decompor o termo \(a_n\) da seguinte forma:
\(
a_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})
\)

Sendo \(b_n = \frac{1}{2n - 1}\), temos que \(b_{n + 1} = \frac{1}{2n + 1}\).

Com isso, chegamos na expressão \(2a_n = b_n - b_{n + 1}\).

Sabendo que a sucessão \(\{b_n\}\) converge, podemos concluir, pelo teorema das séries telescópicas, que a série \(\sum a_n\) converge para \(b_1 - \lim_{n \to \infty} b_n\).

Desenvolvendo a expressão, temos que \(2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = 1 - 0\).

Portanto, \(
\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}
\).