Consider the series
\(\sum_{n=1}^{\infty} log(n sin\frac{1}{n})\)
Determine whether the series converges or diverges. If it converges, determine whether it converges conditionally or absolutely.
Resolução:
Para n inteiro e positivo, sabe-se que \(n sin\frac{1}{n} < 1\)
\(\sum_{n=1}^{\infty} |log(n sin\frac{1}{n})| = \sum_{n=1}^{\infty} - log(n sin\frac{1}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} log(\frac{1}{n sin\frac{1}{n}})\)
A partir da expansão de Taylor para \(sin\frac{1}{n}\), temos que:
\(n sin\frac{1}{n} \geq 1 - \frac{1}{n^2}\)
Então
\(\sum_{n=2}^{\infty} log(\frac{1}{n sin\frac{1}{n}}) \leq \sum_{n=2}^{\infty} log(1 - \frac{1}{n^2 - 1})\)
Sabe-se que \(log(1-x) < x\), e, para \(n \geq 2\) a aproximação de \(\frac{1}{n^2-1}\) para \(\frac{1}{n^2}\) não altera a desigualdade, ainda se mantém menor. Assim:
\(\sum_{n=2}^{\infty} log(\frac{1}{n sin\frac{1}{n}}) < \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)
Dessa forma, pelo teste da comparação, \(\sum_{n=1}^{\infty} log(\frac{1}{n sin\frac{1}{n}})\) converge.
E, como essa série corresponde ao módulo da série inicial, implica que:
\(\sum_{n=1}^{\infty} log(n sin\frac{1}{n})\) é absolutamente convergente.