Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Enunciado:
Determine se a série converge ou diverge. Se ela convergir, determine se sua convergência é condicional ou absoluta.
\(\sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n(n-1)/2} (\frac{n^{100}}{2^n}) \)

Resolução:
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, vamos verificar se \(\sum |a_n| \) converge:
\(\sum |a_n| \) = \(\sum_{n = 1}^\infty | (-1)^{n(n-1)/2} (\frac{n^{100}}{2^n}) | \)

Por causa do módulo, podemos desconsiderar \( (-1)^{n(n-1)/2} \). Com isso, temos: \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{n^{100}}{2^n} \) e \( a_n = \frac{n^{100}}{2^n} \)

Em seguida, utilizaremos o Teste da Razão:
\(L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} \cdot \frac{1}{a_n} =
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{100}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^{100}}\ = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{100}}{2n^{100}} =
\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{n+1}{n})^{100} = \frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^{100} = \)
\( = \frac{1}{2} (1 + 0)^{100} = \frac{1}{2} \)

Portanto, \(L = \frac{1}{2} \). Como \(L < 1 \), a série converge absolutamente.