[Resolução] 10.20.48
Posted: 12 Oct 2022 15:21
Determine o conjunto de valores de x de forma que a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n sin^n x}{n^2}\) seja convergente.
Temos a série
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n sin^n x}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot (2 sin x)^n\)
(i) Sabemos que \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.
Então, para que a série original convirja, precisamos que
(ii) \(\sum (2 sin x)^n\) também convirja.
Para (ii), temos:
\(2 sin x \leq 1\Rightarrow sin x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow |x - k \pi| \leq \frac{\pi}{6}\), para \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\therefore |x - k \pi| \leq \frac{\pi}{6}\), para \(k \in \mathbb{Z}\)
Temos a série
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n sin^n x}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot (2 sin x)^n\)
(i) Sabemos que \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge.
Então, para que a série original convirja, precisamos que
(ii) \(\sum (2 sin x)^n\) também convirja.
Para (ii), temos:
\(2 sin x \leq 1\Rightarrow sin x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow |x - k \pi| \leq \frac{\pi}{6}\), para \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\therefore |x - k \pi| \leq \frac{\pi}{6}\), para \(k \in \mathbb{Z}\)