Para cada \(\epsilon\) existe um \(N\) tal que \(|\alpha_n-L|<\epsilon\) se \(n\ge N\), sendo \(L=\lim_{n\to\infty}a_n\). Determinar, em cada caso, o valor de \(N\) adequado a cada um dos seguintes valores de \(\epsilon : \epsilon =1;0,1;0,01;0,001;0,0001\)
\(a_n=\frac{1}{n}\)
\(\bf Resolução\)
Seguindo a fórmula 10.9 dada no final da Seção 10.2
\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^\alpha} = 0\) se \(\alpha > 0\)
Sabemons que \(L = 0\)
Com isso, basta aplicar \(|\alpha_n-L|<\epsilon\)
\(|\alpha_n-0|<\epsilon \Rightarrow \)
\(|\alpha_n|<\epsilon \Rightarrow\)
\(\frac{1}{n} <\epsilon\)
\(\bf a) \epsilon = 1\)
\(\frac{1}{n} < 1\)
\(n > 1\)
implicando \(N = 1\)
\(\bf b)\epsilon = 0,1\)
\(\frac{1}{n} < 0,1\)
\(n > 10\)
implicando \(N = 10\)
\(\bf c)\epsilon = 0,01\)
\(\frac{1}{n} < 0,01\)
\(n > 100\)
implicando \(N = 100\)
\(\bf d) \epsilon =0,001\)
\(\frac{1}{n} < 0,001\)
\(n > 1000\)
implicando \(N = 1000\)
\(\bf e)\epsilon = 0,0001\)
\(\frac{1}{n} < 0,0001\)
\(n > 10000\)
implicando \(N = 10000\)
\(\textbf {Ajuda para todos que fizerem do ex 24 ao 28}\)
O código do enunciado em latex ficou assim:
Code: Select all
Para cada [latex]\epsilon[/latex] existe um [latex]N[/latex] tal que [latex]|\alpha_n-L|<\epsilon[/latex] se [latex]n\ge N[/latex], sendo [latex]L=\lim_{n\to\infty}a_n[/latex]. Determinar, em cada caso, o valor de [latex]N[/latex] adequado a cada um dos seguintes valores de [latex]\epsilon : \epsilon =1;0,1;0,01;0,001;0,0001[/latex]
[latex]a_n=\frac{1}{n}[/latex]