Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

(Enunciado)

A sucessão \(a_n=(-1)^n(\frac{9}{10})^n\) é convergente, portanto, para cada \(\epsilon\gt0\) previamente dado, existe um inteiro \(N\) (dependendo de \(\epsilon\)) tal que \(|a_n-L|\lt\epsilon\) se \(n\ge N\), sendo \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}\). Determine o valor de \(N\) adequado a cada um dos seguintes valores de \(\epsilon\): \(\epsilon=1;~0,1;~0,01;~0,001;~0,0001\).

(Solução)

Seja a sucessão \(b_n=(\frac{9}{10})^n\),

então \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{(-1)^nb_n}\),

como \(b_n\) é decrescente, \(L=0\).

De modo que, \(|a_n-L|=|a_n|=b_n\lt\epsilon\),

logo, \(b_N=(\frac{9}{10})^N\lt\epsilon\), então:

\(\bullet\) para \(\epsilon=1\), \(N\gt\log_{\frac{9}{10}}{1}=0\), tal que \(N=1\);
\(\bullet\) para \(\epsilon=0,1\), \(N\gt\log_{\frac{9}{10}}{0,1}\approx21,85\), tal que \(N=22\);
\(\bullet\) para \(\epsilon=0,01\), \(N\gt\log_{\frac{9}{10}}{0,01}\approx43,71\), tal que \(N=44\);
\(\bullet\) para \(\epsilon=0,001\), \(N\gt\log_{\frac{9}{10}}{0,001}\approx65,56\), tal que \(N=66\);
\(\bullet\) para \(\epsilon=0,0001\), \(N\gt\log_{\frac{9}{10}}{0,0001}\approx87,42\) tal que \(N=88\).