Obtain the following formula without attempting to justify the steps used in the process.
\(\sum_{1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac{1}{2}\log{(\frac{1+x}{1-x})}\)
Resolução:
A partir da fórumula de séries geométricas, substituindo \(x\) por \(x^2\) temos que:
\(\sum_{0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}\) para \(|x| < 1\)
Integrando dos dois lados:
\(\int\sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \int\frac{1}{1-x^2}dx\)
O que resulta em:
\(\sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{1}{2}\log{(\frac{1+x}{1-x})}\)
E, uma vez que \(\frac{x^{2n+1}}{2n+1} , n=0\) é equivalente a \(\frac{x^{2n-1}}{2n-1} , n=1\)
Temos portanto:
\(\sum_{1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac{1}{2}\log{(\frac{1+x}{1-x})}\)