[Resolução] 10.16.1
Posted: 12 Oct 2022 11:09
Teste a convergência ou divergência da seguinte série:
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
Primeiro, analisamos se o termo geral da série converge para 0. Se sim, temos uma candidata à convergência. Caso contrário, concluiremos que ela é divergente.
\( \lim_{n \to \infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
É fácil notar que \((n!)^2 < (2n)!\) e, portanto, este limite é 0. Podemos testar a convergência da série.
Pela presença de fatoriais, sou levado a pensar no Critério da Razão.
\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!^2}{(2n+2)!} * \frac{(2n!)}{(n!)^2}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\) = \(\frac{1}{4}\)
Como \(L = \frac{1}{4} < 1\), concluímos que a série converge.
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
Primeiro, analisamos se o termo geral da série converge para 0. Se sim, temos uma candidata à convergência. Caso contrário, concluiremos que ela é divergente.
\( \lim_{n \to \infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
É fácil notar que \((n!)^2 < (2n)!\) e, portanto, este limite é 0. Podemos testar a convergência da série.
Pela presença de fatoriais, sou levado a pensar no Critério da Razão.
\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!^2}{(2n+2)!} * \frac{(2n!)}{(n!)^2}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}\) = \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\) = \(\frac{1}{4}\)
Como \(L = \frac{1}{4} < 1\), concluímos que a série converge.