[Resolução] 11.7.1
Posted: 11 Oct 2022 13:47
Determine o raio de convergência \(r\) da série de potência:
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n}\)
Teste para convergência nas extremidades se \(r\) é finito.
Resp.:
É possível notar a presença de potências de \(n\) na série, se tornando interessante a aplicação de um critério como como o Critério da Raiz. Temos que:
\(\lim_{n\rightarrow \infty} (|a_{n}^{}|)^{1/n} = \lim_{n\rightarrow \infty} (|\frac{z^{n}}{2^{n}}|)^{1/n} = \frac{|z|}{2}\)
Para a convergência temos que:
\(\frac{|z|}{2} < 1 \Leftrightarrow |z| < 2\)
Isto é, o Raio de convergência é dado por \(r = 2\).
Temos como o intervalo de convergência:
\(|z| < 2 \Rightarrow -2 < z < 2\)
Para as extremidades temos divergência dado que para \(|z| = 2\):
\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n} \neq 0\)
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n}\)
Teste para convergência nas extremidades se \(r\) é finito.
Resp.:
É possível notar a presença de potências de \(n\) na série, se tornando interessante a aplicação de um critério como como o Critério da Raiz. Temos que:
\(\lim_{n\rightarrow \infty} (|a_{n}^{}|)^{1/n} = \lim_{n\rightarrow \infty} (|\frac{z^{n}}{2^{n}}|)^{1/n} = \frac{|z|}{2}\)
Para a convergência temos que:
\(\frac{|z|}{2} < 1 \Leftrightarrow |z| < 2\)
Isto é, o Raio de convergência é dado por \(r = 2\).
Temos como o intervalo de convergência:
\(|z| < 2 \Rightarrow -2 < z < 2\)
Para as extremidades temos divergência dado que para \(|z| = 2\):
\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n} \neq 0\)