[Resolução] 10.20.17

[murillommartins]

Enunciado:
Determinar se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1-n\sin{\frac{1}{n}})\) converge ou diverge, se convergir, determine se é convergência condicional ou absoluta.

Resolução:
Pelo critério de Leibniz para séries alternadas, a série irá convergir se seu termo não alternante ir para 0 quando \(n \rightarrow \infty\), portanto temos:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} (1-n\sin{\frac{1}{n}}) = 1 - (\lim_{n \rightarrow \infty} (n\sin{\frac{1}{n}})) = 1 - (\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac 1n}))\)
Lembrando do limite fundamental \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin{\frac 1x}}{\frac 1x} \), teremos:
\(1 - (\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac 1n}) = 1 - 1 = 0\)
Portanto a série converge.

Agora temos que ver se é convêrgencia absoluta ou condicional, para isso temos que ver o que ocorre com a série em módulo:
\(\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^n (1-n\sin{\frac{1}{n}})| = \sum_{n=1}^{\infty} (1-n\sin{\frac{1}{n}})\)
Usando a série de Taylor de \(\sin{x}\) (com \(x_0=0\)) temos:
\(\sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...\)
\(\sin{\frac 1x} = \frac 1x - \frac{1}{3!x^3} + \frac{1}{5!x^5} - ...\)

Substituindo na série em módulo teremos:
\( \sum_{n=1}^{\infty} (1-n\sin{\frac{1}{n}}) = \sum_{n=1}^{\infty}(1-n(\frac 1n - \frac{1}{3!n^3} + \frac{1}{5!n^5} - ...)) = \sum_{n=1}^{\infty}(1- 1 + \frac{1}{6n^2} - \frac{1}{120n^4} + ...) = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{6n^2} - \frac{1}{120n^4} + ...) \)
Pelo critério da comparação temos que:
\(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{6n^2} - \frac{1}{120n^4} + ...) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n^2} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)
Como \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) é uma série harmônica generalizada e seu expoente é maior que 1, então \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) converge, pelo critério da comparação todas as séries menores à ela também convergem.
Portanto a série \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1-n\sin{\frac{1}{n}})\) converge absolutamente.