[Resolução] 10.9.6

[ronaldinho_gaucho]

Cada uma das séries dos Exercícios 1 a 10 é uma série telescópica ou uma série geométrica ou alguma série cuja soma parcial pode simplificar-se. Em cada problema provar que a série converge e que a soma tem o valor indicado.

\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{4}\)

Resolução:

É possível decompor o termo geral da série em frações parciais:
\(\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{A}{(n+1)(n+2)} + \frac{B}{(n+2)(n+3)}\)
\(A(n+3)+B(n+1)=n\)
\(n(A+B)+3A+B=n\)
\(\begin{cases}
A+B = n \\
3A+B = 0\\
\end{cases}\)

Do sistema acima, tiramos que \(A = -\frac{1}{2}\) e \(B = \frac{3}{2}\). Dessa forma, a série original pode ser escrita como:
\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{(n+1)(n+2)} + \frac{3}{(n+2)(n+3)}\\ \)
\( = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+2)(n+3)} + \frac{-1}{(n+1)(n+2)}\right) + \frac{2}{(n+2)(n+3)}\)

Novamente decompondo em frações parciais o termo \(\frac{2}{(n+2)(n+3)}\), temos:
\( = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{-1}{(n+1)(n+2)} + \frac{A}{(n+2)} + \frac{B}{(n+3)}\right)\)

Assim:
\(A(n+3) + B(n+2) = 2\)
\(\begin{cases}
3A+2B = 2\\
A + B = 0\\
\end{cases}\)

Com isso, é possível concluir que A = 2 e B = -2. Com esses resultados e rearranjando os termos que compõem o termo geral da série, obtemos:
\( = -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+2)(n+3)} - \frac{2}{(n+2)}\right) - \left(\frac{1}{(n+2)(n+3)} - \frac{2}{(n+3)}\right)\)

Sendo assim, é possível escrever a série na forma de uma série telescópica na forma \(b_n - b_{n+1}\) em que \(b_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} - \frac{2}{(n+2)}\). Portanto:

\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = -\frac{1}{2}(b_1-L)\), em que \(L= \lim_{n\rightarrow \infty}b_n = 0\)
\( = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6} - \frac{2}{3} - 0\right) = \frac{1}{4}\)