[Resolução] 10.4.6

[Leonardo_06]

Considere a sequência \(f(n)\) definida por:

\(f(n) = 1 + (-1)^n\)

Determine se \(f(n)\) é convergente ou divergente, se convergente, calcule \(lim_{n \to \infty} f(n)\)

Resolução:

\(a_1 = 1 + (-1)^1 = 1 - 1 = 0 \\
a_2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \\
a_3 = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0 \\
...\)

Todos os termos da sequência \(a_n = 1 + (-1)^n\) assumem valores menores ou iguais a 2, portanto, a sequência é limitada. Não é monótona, pois oscila entre 0 e 2.

\(\lim_{n \to \infty} (1 + (-1)^n) = lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} (-1)^n\)

Como \(lim_{n \to \infty} (-1)^n\) não existe, \(f(n) = 1 + (-1)^n\) diverge.