[Resolução] 10.4.2

[pedromonici]

ENUNCIADO:
Considerando a sequência \(f(n)\) definida por

\(f(n) = \frac{n^2}{n+1} - \frac{n^2 + 1}{n}\)

Determine se a sequência \(\{f(n)\}\) converge ou diverge, e se converge encontre o limite.


RESOLUÇÃO:
\(f(n) = \frac{n^2}{n+1} - \frac{n^2 + 1}{n}\)

\(f(n) = \frac{n^3-n^3-n^2-n-1}{n^2+n}\)

\(f(n) = -\left (\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n^2+n} \right )\)

\(f(n) = -\left (\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}+\frac{\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}} \right ).\)

Como o limite existe, temos:

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(n)=-(1+0+0)=-1.\)

Portanto, a sequência \(\{f(n)\}\) é convergente com limite -1.