Exercício IV.7.55

[Modeus]

Respeitáveis colegas de curso,

O segundo exercício que Sabrina e eu escolhemos entregar para a disciplina é o IV.7.55, cujo enunciado é

Sejam \(M\) modelo enumerável transitivo, \(\mathbb P\) forcing de \(M\) e \(G\) filtro \(\mathbb P\)-genérico sobre \(M\).

Assuma que, em \(M\), \(\kappa\) é um cardinal fortemente inacessível e \(|\mathbb P|<\kappa\). Então \(\kappa\) é um cardinal fortemente inacessível em \(M[G]\).

Nota: Um cardinal \(\kappa\) é fortemente inacessível se \(\kappa\) é regular (isto é, \(cf(\kappa) = \kappa\)) e limite forte (isto é, \(\lambda<\kappa\implies 2^\lambda<\kappa\).

[dory]

Teorema IV.7.9. Se \(\mathbb P\in M\) e (\(\theta\) é cardinal regular)\(^M\) e (\(\mathbb P\) é \(\theta\)-cc)\(^M\), então \(\mathbb P\) preserva cofinalidades \(\ge \theta\) e, portanto, \(\mathbb P\) preserva cardinais \(\ge \theta\).

• Se \(\kappa\) é fortemente inacessível em \(M\), então \(\kappa\) é regular em \(M\).

• Como \(|\mathbb P|<\kappa\) em \(M\), temos (\(\mathbb P\) é \(\kappa\)-cc)\(^M\).

Segue \(\mathbb P\) preserva cardinais e cofinalidades \(\ge\kappa\). Em particular, \(\kappa\) é cardinal regular em \(M[G]\).

[Modeus]

Dado \(\sigma\) \(\mathbb P\)-nome, um nome legal para um subconjunto de \(\sigma\) é um \(\mathbb P\)-nome da forma \(\bigcup \{\{\pi\}\times A_\pi: \pi\in dom(\sigma)\}\) onde cada \(A_\pi\) é uma anticadeia de \(\mathbb P\).

Lema IV.3.10. Se \(\sigma, \mu\) são \(\mathbb P\)-nomes de \(M\), então existe \(\tau\) nome legal de \(M\) para um subconjunto de \(\sigma\) tal que \(1\Vdash (\mu\subset\sigma\implies \mu=\tau)\).

Seja \(\lambda\) cardinal tal que \(\lambda<\kappa\) em \(M[G]\). Então \(\lambda<\kappa\) em \(M\), portanto, \(2^\lambda< \kappa\) em \(M\).

Seja \(|\mathbb P| = \alpha<\kappa\) em \(M\). Então \(\mathbb P\) possui, no máximo, \(2^\alpha<\kappa\) anticadeias em \(M\). Note que \(dom(\check \lambda) = \{\check\xi: \xi\in\lambda\}\) possui cardinalidade \(\lambda\), portanto, existem no máximo \(\theta = (2^\alpha)^\lambda = 2^{\alpha\lambda}<\kappa\) nomes legais para subconjuntos de \(\check \lambda\). Seja \(\{\tau_\alpha\}_{\alpha<\theta}\) uma enumeração desses nomes.

Em \(M[G]\), existe uma função \(f\) com domínio \(\theta\) tal que \(f(\alpha) = val(\tau_\alpha, G)\), \(\alpha<\theta\). Pelo lema anterior, \(\mathcal P(\lambda)^{M[G]}\subset ran(f)\), isto é, \(2^\lambda < \theta\) em \(M[G]\).

[DonaldHaynes]

Para provar isso, precisamos mostrar duas condições: que κ é regular em M[G] e que κ é um limite forte em M[G].

Um cardinal κ é regular se a sua cofinalidade (cf(κ)) é igual a κ, ou seja, não existem sequências estritas de comprimento κ no modelo M[G]. A ideia aqui é utilizar a propriedade de que G é um filtro P-genérico para garantir que nenhum novo conjunto de ordem κ seja adicionado a M[G]. Assim, κ continua sendo regular em M[G].

Além disso, um cardinal κ é um limite forte se, para todo λ menor que κ, temos que o poder de dois de λ (2^λ) é menor que κ. Neste caso, também podemos utilizar a propriedade do filtro P-genérico G para garantir que não existem novas sequências de comprimento 2λ no modelo M[G]. Portanto, κ continua sendo um limite forte em M[G].

Dessa forma, podemos concluir que, se κ é um cardinal fortemente inacessível em M, com |P|<κ, então κ também é um cardinal fortemente inacessível em M[G].