[Resolução] 10.14.8

[Gabriel Giovanazzi]

Enunciado: considere a série definida pela seguinte fórmula:
\(f(n) = \sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\)

Responda a seguinte questão:

Determine se esta série converge ou diverge e justifique.

Primeiramente, vemos que:

\(\dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}} \le \dfrac{\log n}{n* \sqrt n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} = a_n\)

Agora, tomemos uma sequência \(b_n\) definida por \(b_n = \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x}\)

Note que, para \( 0 \lt x \lt \frac{1}{2} , b_n \) converge.

Comparando \(a_n\) e \(b_n\) nos limites, temos:

\(\lim_{n \to \infty} \tfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\log n}{n^\tfrac{3}{2}} * \dfrac{n^\tfrac{3}{2}}{n^x} = \dfrac{\log n}{n^x} = 0\).

Perceba que: \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log n}{n^x} = 0 \) pois para qualquer \(0 \lt x \lt \frac{1}{2}\), o denominador, independente do valor de x, cresce mais rápido do que função log.

Portanto, se \(b_n\) converge, e \(\frac{a_n}{b_n} \rightarrow 0\), temos que \(b_n \gt a_n\).

Logo, \(a_n\) converge. Por consequência: \(\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{\log n}{n* \sqrt {n+1}}\) converge.

[João Luiz Moraes]

Opa

Só um detalhe, tu trocou o numerador e o denominador do b_n quando tu foi definir a sequencia, mas depois utilizou corretamente

Só muda lá a ordem q ta tudo certo