Eu e Marciel acabamos tendo que escolher outro exercício. Vamos apresentá-lo onlina no dia 19/12. O exercício é o seguinte:
Assuma que \(M \models \neg CH\), e seja \(\mathbb{P} = (F_{n_{\aleph_{1}}}(I,2))^{M}\), onde \((|I| > \aleph_{0})^{M}\). Então \(M[G] \models CH\) e todos os cardinais \(\kappa\) de \(M\) com \((\aleph_{1} < \kappa \leq \mathfrak{c})^{M}\) deixam de ser cardinais em \(M[G]\).
Demonstração:
Primeiramente, note que \(\mathbb{P}\) é enumeravelmente fechado. De fato, dado \(\{f_n\}_{n\in\omega}\subset\mathbb{P}\) com \(f_{n+1} \leq f_{n}\) para todo \(n\in\omega\), temos \(f = \cup_{n\in\omega} f_n\in\mathbb{P}\) pois
\(\displaystyle{|\text{dom}(f)| = |\bigcup_{n\in\omega}\text{dom}(f_n)| \leq \sum_{n\in\omega} |\text{dom}(f_n)| \leq \sum_{n\in\omega} \omega < \omega_1}\)
já que \(\omega_1\) é regular. Disso segue que \(\dot{\omega} = \check{\omega}\) e que \(\dot{\omega_1} = \check{\omega_1}\), consequentemente \(\omega_1 \times \omega\) também é preservado e podemos supor sem perda de generalidade que \(\mathbb{P} = Fn_{\aleph_1}(\omega_1 \times \omega,2)\) já que \(|I| \geq \aleph_1\) e \(|\omega_1 \times \omega| \geq \aleph_1\), assim, considerando um filtro \(G\) \(\mathbb{P}\)-genérico, temos uma função
\(\displaystyle{\cup G: \omega_1 \times \omega \rightarrow 2}\)
que dado \(\alpha\in\omega_1\) nos deixa definir a função
\(g_\alpha:\omega\rightarrow 2, k \mapsto g_\alpha(k) = \cup G (\alpha,k)\).
Claramente cada \(g_{\alpha} \in \check{2^\omega}\) já que \(\dot{2^\omega} = \check{2^\omega}\), nos restando mostrar que
\(g:\omega_1 \rightarrow 2^\omega, \alpha\mapsto g_\alpha\)
é uma função sobrejetora. Com efeito, nos basta notar que dado \(h\in 2^\omega\) o conjunto
\(D_h = \{p \in \mathbb{P} \; | \; \text{existe} \; \alpha \in \omega_1 \; \text{tal que} \; p(\alpha, k) = h(k) \; \text{para cada} \; k \in \omega\}\)
é denso em \(\mathbb{P}\). Realmente, dado \(p \in \mathbb{P}\), temos
\(p: X \subset \omega_1 \times \omega \rightarrow 2\), \(|X| < \aleph_1\)
assim o conjunto \(A = \{\beta \in \omega_1 \; | \; (\beta \times \omega) \cap X \neq \varnothing\}\) é enumerável, isto é, \(A = \{\alpha_1, \cdots, \alpha_\omega\}\) e temos que cada \(\alpha_i\) define uma função
\(f_{\alpha_i}: Y_i \subset \omega \rightarrow 2, k\mapsto p(\alpha_i,k)\)
que pode ser extendida para uma função \(\hat{f}_{\alpha_i}: \omega \rightarrow 2\). Finalmente, como \(|A| < \aleph_1\), existe \(\gamma \in \omega_1\) tal que \(\gamma \not\in A\), dessa forma definimos a função
\(d: (A \cup \{\gamma\}) \times \omega \rightarrow 2\)
por \(d(\alpha_i, k) = \hat{f}_{\alpha_i}(k)\) e \(d(\gamma,k) = h(k)\), desse modo \(d \leq p\) e \(d \in D_h\), logo \(D_h\) é denso em \(\mathbb{P}\), como queríamos. Enfim, para a segunda parte da questão, basta notar que, como vale \(CH\) em \(M[G]\), não há nenhum cardinal entre \(\aleph_{1}\) e \(\mathfrak{c}\) em \(M[G]\). Logo, os cardinais \(\kappa\) com \((\aleph_{1} < \kappa \leq \mathfrak{c})^{M}\) deixam de ser cardinais em \(M[G]\). \(\blacksquare\)