Dado \(\sigma\) \(\mathbb P\)-nome, um
nome legal para um subconjunto de \(\sigma\) é um \(\mathbb P\)-nome da forma \(\bigcup \{\{\pi\}\times A_\pi: \pi\in dom(\sigma)\}\) onde cada \(A_\pi\) é uma anticadeia de \(\mathbb P\).
Lema IV.3.10. Se \(\sigma, \mu\) são \(\mathbb P\)-nomes de \(M\), então existe \(\tau\) nome legal de \(M\) para um subconjunto de \(\sigma\) tal que \(1\Vdash (\mu\subset\sigma\implies \mu=\tau)\).
Seja \(\lambda\) cardinal tal que \(\lambda<\kappa\) em \(M[G]\). Então \(\lambda<\kappa\) em \(M\), portanto, \(2^\lambda< \kappa\) em \(M\).
Seja \(|\mathbb P| = \alpha<\kappa\) em \(M\). Então \(\mathbb P\) possui, no máximo, \(2^\alpha<\kappa\) anticadeias em \(M\). Note que \(dom(\check \lambda) = \{\check\xi: \xi\in\lambda\}\) possui cardinalidade \(\lambda\), portanto, existem no máximo \(\theta = (2^\alpha)^\lambda = 2^{\alpha\lambda}<\kappa\) nomes legais para subconjuntos de \(\check \lambda\). Seja \(\{\tau_\alpha\}_{\alpha<\theta}\) uma enumeração desses nomes.
Em \(M[G]\), existe uma função \(f\) com domínio \(\theta\) tal que \(f(\alpha) = val(\tau_\alpha, G)\), \(\alpha<\theta\). Pelo lema anterior, \(\mathcal P(\lambda)^{M[G]}\subset ran(f)\), isto é, \(2^\lambda < \theta\) em \(M[G]\).