Integrate the binomial series for \((1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\) and thereby obtain the power-series expansion
\(\displaystyle \arcsin x = x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\), (\(|x|\lt1\)).
Solução:
Sejam a função \( f(x)=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\), e \(F(y)=(1+y)^k\), com \(k\in Q\), o conjunto de funções que podem ser descritas como séries de MacLaurin, tal que \(\displaystyle F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}y^n\). Se \(f(x)\in F(y)\), então \(y=-x^2\) e \(k=-\frac{1}{2}\), definindo-se a série de MacLaurin para a função como \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-1)^nx^{2n}\).
Logo, \(\displaystyle \arcsin x = \int\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-1)^nx^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-1)^nx^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+c\).
Desenvolvendo-se os números binomiais fatores das 4 primeiras parcelas da série, tem-se que:
- para \(n=0\), \(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{0}=1\);
- para \(n=1\), \(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{1}=\frac{-\frac{1}{2}}{1!}=-\frac{1}{2}\);
- para \(n=2\), \(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{2}=\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})}{2!}=\frac{3}{8}\);
- para \(n=3\), \(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{3}=\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!}=-\frac{5}{16}\).
Generalizando, tem-se \(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2^n\cdot n!}\cdot(-1)^n\), para \(n\gt0\),
\(\displaystyle \binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2n\cdot2(n-1)\cdot2(n-2)\cdots2(1)}\cdot(-1)^n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\cdot(-1)^n\).
Portanto,
\(\displaystyle \arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\frac{1}{2}}{n}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+c=\binom{-\frac{1}{2}}{0}(-1)^0\frac{x^{2(0)+1}}{2(0)+1}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\cdot(-1)^n\cdot(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+c\),
\(\displaystyle \arcsin x=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+c\), (\(|x|\lt1\)).
E, para \(c=0\), tem-se a expansão da série de potências que queria-se obter.