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Nota-se que a fim de resolver a questão a técnica de integração por partes se faz necessária de maneira recorrente até que toda a parte polinomial da função seja zerada.
Ou seja, primeira faz-se:
(1 + 3x^2 + 5x^8 - 10x^14) = f(x)
sen(2x) = g'(x)
Segue-se a formula de integração por partes resultando em:
-(1 + 3x^2 + 5x^8 - 10x^14)*cos(2x)/2 + Integral[(6x + 40x^7 -140x^13) * (-cos(2x)) dx]
E isso se repete constantemente sendo que a outra integral encontrada também necessita de integração por partes.
Ao continuar esse processo é possível perceber um padrão, todos as valores encontrados resultam em um polinômio multiplica por ou cos(2x) ou sen(2x). Sendo que, como é percepitível acima, o polinômio A(x) que multiplica cos(2x) possui todos os valores de X elevados a um numero par, enquanto o polinômio B(x) que multiplica sen(2x) tem todos os seus valores de X elevados a um número impar.
A resolução então se da na seguinte forma:
A(x)*cos(2x) + B(x)*sen(2x)
Sendo X calculado de -π a π
Primeiramente:
sen(-2π) = sen (2π) = 0
cos(-2π) = cos(2π) = 1
Ou seja, a seguinte fórmula é a resolução final:
A(π) - A(-π)
Porém lembre-se que todos os valores de X no polinômio a são elevados por valores pares, isso elimina o sinal negativo da mesma forma que (-X)^2 = X^2. Assim:
A(-π) = A(π)
A(π) - A(-π) = 0
Dessa forma se conclui que a integral da função inicial é simplesmente igual a 0.