[Resolução] 11.16.5

[pedro-rossi]

Determinar o intervalo de convergência em cada caso e mostre que f satisfaz a equação diferencial indicada, onde y = f(x).
\(
1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n)!}x^{3n}
\)

Primeiro, usamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência de f(x)
\(
lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1 \cdot 4 \cdot
7 \cdot \cdot \cdot (3n+1) \cdot x^{3x+3}}{(3n+3)!}) (\frac{(3n)!}{1 \cdot 4 \cdot
7 \cdot \cdot \cdot (3n-2) \cdot x^{3n}})
\)
\(
lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(3n+1)x^3}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}
\)
\(
lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^3}{(3n+2)(3n+3)}
\)
\(
=0
\)

Portanto, a série converge para qualquer x.
\(
y = 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n)!}x^{3n}
\)
\(
y' = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n - 1)!}x^{3n-1}
\)
\(
y'' = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n - 2)!}x^{3n-2}
\)

Agora mostrando \(y''=x^ay+b\)
\(
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n - 2)!}x^{3n-2} = b + x^a + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n)!}x^{3n+a}
\)

A partir disso, sabemos que:
\(
y''= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n - 2)!}x^{3n-2}
\)

\(
x^ay+b=xy=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n - 2)}{(3n)!}x^{3n+2}
\)

\(
= x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3(n-1) - 2)}{(3(n-1))!}x^{3(n-1)+1}
\)

\(
= \frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)!}x^{3 \cdot 1 - 2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n-5)}{(3n-3)!} \cdot \frac{3(n-2)}{(3n-2)} \cdot x^{3n-2}
\)

\(
= \frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)!}x^{3 \cdot 1 - 2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n-2)}{(3n-2)!}x^{3n-2}
\)


\(
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdot \cdot (3n-2)}{(3n-2)!} x^{3n-2}
\)

Assim, mostramos que \(y''=x^ay+b\)

[otavio12]

Poxa bem complicado essas de EDO, valeu pela resolução.

[macarrao_carbonara]

Opa tava com muita duvida nessas, obrigado pela resolução.

[Jo77]

Resolução muito boa!