Enunciado:
Find all \(x \in \mathbb{R}\) such that the series
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+3}\)
converges and compute the sum.
Resolução:
Primeiramente iremos utilizar o teste da razão
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-1}{a_n} = \lim_{n\to\infty}(\frac{x^{n+1}}{(n+4)!}) (\frac{(n+3)!}{x^n}) = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{n+4} = 0\) para todo x
Portanto essa serie converge para todos os \(x \in \mathbb{R}\). Ademais, calculamos a soma para \(x \neq 0\)
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+3} = \sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{x^{n-3}}{n!} = \frac{1}{x^3}\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \frac{1}{x^3}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} - 1 - x - \frac{x^2}{2})\)
\(= \frac{1}{x^3}(e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2})\)
Se \(x = 0\) então a soma é \(0\)