Enunciado:
Seja f(x) função 2π−periódica dada por f(x) = π − x se x ∈ (−π, π) .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por:
\(
S_f(x) = \pi + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(nx)}{n}
\)
Resolução:
Como f(x) = π − x não é uma função par e nem ímpar, iremos fazer os coeficientes de Fourier:
\(
a_0 = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π − x ) dx
\\
a_n = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π − x ) \cos {n x} dx
\\
b_n = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π − x ) \sin {n x} dx
\\
\\
\\
Vamos começar resolvendo a0:
a_0 = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π ) dx - \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (x ) dx
\\
\)
Como x é função ímpar e o intervalo é simétrico, então ela vale 0, já a outra parte da integral é uma função par então faremos:
\(
\\
a_0 = \frac{2}{π} \int _0 ^π (π) dx = 2π
\\
\)
Isso está certo pois o a0 ná equação de Fourier será:
\(
\frac{2π}{2} = π
\)
Agora iremos ver an:
\(
a_n = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π\cos {n x}) dx - \frac{1}{π} \int _{−π} ^π x\cos {n x} dx
\\
\)
Se resolvermos a equação da direita chegaremos em 0:
\(
\sin nx | ^{\pi} _{-\pi} = 0
\)
Pois os múltiplos de π em função sen resultam sempre em 0.
Agora para a outra parte da integral, usaremos integração por partes:
Chamaremos u = x e v' = cos(nπx)
Desenvolvendo teremos
\(
- \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (x\cos {n x}) dx = 0
\)
Vamos agora resolver bn:
\(
b_n = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π − x ) \sin {n x} dx
\\
b_n = \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (π \sin{nx} ) dx - \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (x \sin{nx} ) dx
\)
A parte à esquerda resulta em 0 pois é uma integral de função ímpar (sen) em intervalo simétrico
Já a parte da direita usaremos também integração por partes:
\(
- \frac{1}{π} \int _{−π} ^π (x \sin{nx} ) dx = \frac{x \cos{nx}}{n} - \frac{1}{π}\int _{−π} ^π (\frac{\cos{nx}}{n}) dx
\)
E isso é igual a:
\(
b_n = 2\frac{x \cos{nπ}}{n}
\)
Como os múltiplos de cos são 1 e -1 podemos trocar pela alternância
\(
b_n = 2\frac{(-1)^n}{n}
\)
Substituindo na fórmula da série de Fourier temos que:
\(
S_f(x) = \pi + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nsen(nx)}{n}
\)