[Resolução] 11.13.13

[Fernando Henrique]

ENUNCIADO:
Essa função tem uma representação em série de potências em potência de x.
Assuma a existência da expansão, verifique que os coeficientes tem a forma dada, e mostre que a série converge para os valores de x indicados.

\(\displaystyle \sin^2x = \sum _{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n}\), converge para todo \(x\).[Dica: \(\cos2x = 1 - 2\sin^2x\)]

RESPOSTA:
\(\sin^2x = \frac{1 - \cos2x}{2}\)

A fórmula geral para a expansão de Taylor para \(\cos x\) é:
\(\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\), válida para todo \(x \in \mathbb{R}\)

Logo:

\(\sin^2x = \frac{1}{2}(1 - \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n})\)
\(\sin^2x = \frac{1}{2}(1 + \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}(2x)^{2n})\)
\(\sin^2x = \frac{1}{2}(1 - 1 + \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}(2x)^{2n})\)
\(\sin^2x = \frac{1}{2}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}(2x)^{2n}\)
\(\sin^2x = \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}2(2)^{2n-1}(x)^{2n}\)
\(\sin^2x = \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(2)^{2n-1}(x)^{2n}}{(2n)!}\)

Como queríamos demonstrar.