ENUNCIADO:
Considere a equação diferencial:
\(y'=x + y^2\)
com condições iniciais y = 0 quando x = 0. Suponha que essa equação diferencial tenha uma solução em série de potência e calcule os quatro primeiros termos diferentes de zero da expansão.
SOLUÇÃO:
Seja, \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\), a solução em série de potências da equação diferencial. Então devemos ter
\( \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} = x + (\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n)^2 \rightarrow\)
\(\rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} = x + \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k})x^n \rightarrow\)
\(\rightarrow a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + ... = a_0^2 + (2a_0a_1 + 1)x + (a_1^2 + 2a_0a_2)x^2 + ...\)
Das condições iniciais sabemos que \(a_0 = 0\). Então, igualando potências iguais de x, podemos resolver os quatro primeiros termos diferentes de zero na expansão da série de potências:
\(a_0 = 0\)
\(a_1 = a_0^2 \rightarrow a_1 = 0\)
\(2a_2 = 2a_0a_1 + 1 \rightarrow a_2 = 1/2\)
\(3a_3 = a_1^2 + 2a_0a_2 \rightarrow a_3 = 0\)
\(4a_4 = 2(a_0a_3 + a_1a_2) \rightarrow a_4 = 0\)
\(5a_5 = a_2^2 + 2(a_0a_4 + a_1a_3) \rightarrow a_5 = 1/20\)
\(6a_6 = 2(a_0a_5 + a_1a_4 + a_2a_3) \rightarrow a_6 = 0\)
\(7a_7 = a_3^2 + 2(a_0a_6 + a_1a_5 + a_2a_4) \rightarrow a_7 = 0\)
\(8a_8 = 2(a_0a_7 + a_1a_6 + a_2a_5 + a_3a_4) \rightarrow a_8 = 1/160\)
\(9a_9 = a_4^2 + 2(a_0a_8 + a_1a_7 + a_2a_6 + a_3a_5) \rightarrow a_9 = 0\)
\(10a_{10} = 2(a_0a_9 + a_1a_8 + a_2a_7 + a_3a_6 + a_4a_5) \rightarrow a_{10} = 0\)
\(11a_{11} = a_5^2 + 2(a_0a_{10} + a_1a_9 + a_2a_8 + a_3a_7 + a_4a_6) \rightarrow a_{11} = 1/8800\)
Portanto, temos:
\( y = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{160} x^8 + \frac{1}{8800} x^{11} + \cdots.\)