III.6.16d)
I) Escreva a reapresentação de \(\cos{x}\) em série de Fourier em senos.
Basta encontrarmos \(b_n\) da série \(S_f(x) = b_n\sin{(\frac{n\pi x}{L})}\),
\(
\begin{equation}
\begin{split}
b_n &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x)\sin{(\frac{n\pi x}{L})} \,dx \\
&= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos{(x)} \sin{(nx)} \,dx \\
&= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (\sin{(nx+x)}\sin{(nx-x)}) \,dx \\
&= \frac{-1}{\pi} \left[ \frac{\cos{((n+1)x)}}{n+1} + \frac{\cos{((n+1)x)}}{n-1} \right]^\pi_0 \\
&= \frac{-1}{\pi} \left[ \frac{-(-1)^n}{n+1} \frac{-(-1)^n}{n-1} \frac{1}{n+1} \frac{1}{n-1} \right] \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{(-1)^n+1}{n+1} \frac{(-1)^n+1}{n-1} \right] \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{(n-1) ((-1)^n+1)+(n+1)((-1)^n+1)}{n^2+1} \right] \\
&= \frac{8n}{\pi(4n^2-1)}
\end{split}
\end{equation}
\)
Assim temos que \(S_f(x) = \frac{8}{\pi}\sum^\infty_{n=1} \frac{n}{4n^2-1} \sin{(nx)}\).
II) Escreva a reapresentação de \(\cos{x}\) em série de Fourier em cossenos.
Para resolver temos que encontrar os valores de \(a_0\) e \(a_n\) de \(S_f(x) = \frac{a_0}{2} + a_n\sin{(\frac{n\pi x}{L})}\),
O primeiro passo é calcular \(a_0\),
\(
\begin{equation}
\begin{split}
a_0 &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos{x} \,dx \\
&= -\sin{x} |^\pi_0 \\
& = 0
\end{split}
\end{equation}
\)
O segunda é encontar \(a_n\),
\(
\begin{equation}
\begin{split}
a_n &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos{(x)} \cos{(nx)} \,dx \\
&= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (\cos{(nx+x)} + \cos{(nx-x)}) \,dx \\
&= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\cos{((n+1)x)} + \cos{((n-1)x)}) \,dx \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{((n+1)x)}{n+1} \frac{((n-1)x)}{n-1} \right]^\pi_0 \\
& = 0
\end{split}
\end{equation}
\)
Logo, \(S_f(x) = 0\).