III.6.2d
Enunciado:
Calcule as integrais abaixo.
d) \(\int_{−π}^{π} (1 + x)sen2x \,dx\)
Solução:
Como \((1 + x)\) e \(sen(2x)\) são funções ímpares, então \((1 + x)sen2x\) é uma função par. Assim, podemos calcular apenas:
\(2\int_{0}^{π} (1 + x)sen2x \,dx\)
Vamos fazer integração por partes para resolver a integral:
\(\int_{a}^{b} udv \,dx = uv \rvert_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu \,dx\)
\(u = 1 + x \) e \(du = 1\)
\(dv = sen2x\) e \(v = \frac{-1}{2}cos2x\)
\(\int_{0}^{π} (1 + x)sen2x \,dx = \frac{-1}{2}cos2x(1 + x) \rvert_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{-1}{2}cos2x \,dx = \)
= \(-\frac{(1 + π)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{sen2x}{4} \rvert_{0}^{π} =\)
\( = -\frac{π}{2} - 0\) \(= -\frac{π}{2}\)
Então, obtemos o resultado final:
\(2\int_{0}^{π} (1 + x)sen2x \,dx = 2(-\frac{π}{2}) = -π\)