11.13.3
Enunciado:
Para cada umas das séries de potências dos Exercícios 1 a 10 determinar o conjunto de todos os reais x para os quais as séries convergem e calcular sua soma.
3. \(\sum_{n = 0}^\infty nx^n\).
Solução:
Primeiramente vamos calcular o raio de convergência. Como \(a_n = n\) e os coeficientes não são nulos, podemos concluir que \(R = \frac{1}{L}\), sendo que \(L = lim_{n -> \infty} \frac{a_{n+1} }{a_n} = lim_{n -> \infty} \frac{(n+1)}{n} = 1\) nesse caso. Dessa forma, o raio de convergência é \(R = 1\) e \(x_0 = 0\).
Portanto, para \(|x| < 1\) a série converge. Para \(|x| > 1\), \(x = 1\) e \(x = -1\) a série diverge.
Agora, para calcular o valor da soma, vamos realizar algumas manipulações na série para simplificar.
\(\sum_{n = 0}^\infty nx^n = x \sum_{n = 0}^\infty nx^{n-1}\).
Pelo teorema 11.9 é possível derivar a série termo a termo. Então obtemos que \(nx^{n-1} = (x^n)'\):
\(x \sum_{n = 0}^\infty nx^{n-1} = x(\sum_{n = 0}^\infty x^n)'\)
Por soma infinita de uma série geométrica temos:
\(x(\sum_{n = 0}^\infty x^n)' = x(\frac{1}{1-x})' = x\frac{1}{(1-x)^2} \)
Assim, a soma da série é dada por:
\(\sum_{n = 0}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}\)
para todo \(|x| < 1\), pois apenas assim a série geométrica é convergente.