In Exercises 1 through 32, determine convergence or divergence of the given series. In case of
convergence, determine whether the series converges absolutely or conditionally.
\(
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{n+100}
\)
Como esta é uma série alternada decrescente, em que o limite no infinito tende a 0, por Leibniz sabemos que esta série é convergente condicionalmente
Agora devemos checar se seu módulo é convergente para checar se ela converge absolutamente.
Para isso usaremos o comparação no limite com a série harmônica \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) que sabemos que diverge, e se houver um limite, ou se tender ao infinito (já que colocamos a série harmônica no denominador), concluímos que essa série não converge absolutamente.
\(
\lim_{n \to +\infty}\frac{\frac{\sqrt{n}}{n+100}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{n\sqrt{n}}{n+100} = \lim_{n \to +\infty}\frac{\sqrt{n}}{1+\frac{100}{n}}
= \lim_{n \to +\infty}\sqrt{n} = +\infty
\)
Assim provamos que o módulo desta série não converge pois ela é maior que uma série que diverge, então consideramos que ela converge condicionalmente