Resolução:Nos exercícios 15, 16 e 17, supor que a equação diferencial dada admite como solução uma série de potências da forma \(y = \sum a_nx^n \), e determinar o coeficiente \(a_n\).
17) \(y'' + xy' + y = 0\)
Como nesse exercício precisamos de \(y''\) e \(y'\), primeiramente devemos derivar o somatório dado duas vezes para encontrar os respectivos somatórios das derivadas da função.
\(y = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_nx^n \)
\(y' = \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \)
\(y'' = \sum\limits_{n = 2}^\infty n(n - 1)a_nx^{n - 2} \)
Ou seja
\(y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + ... \)
\(y' = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + 5a_5x^4 + ... \)
\(xy' = a_1x + 2a_2x^2 + 3a_3x^3 + 4a_4x^4 + 5a_5x^5 + ... \)
\(y'' = 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2 + 20a_5x^3 + ... \)
Substituindo os valores encontrados na equação diferencial dada, temos:
\(y'' + xy' + y = 0\)
\( \sum\limits_{n = 2}^\infty n(n - 1)a_nx^{n - 2} + x \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} + \sum\limits_{n = 0}^\infty a_nx^n = 0 \)
Perceba que ao realizar a multiplicação de \(x\) por \(y'\), tanto \(y'\) quanto \(y\) terão \(x^n\). Portanto devemos igualar \(x\) em \(y''\), alterando o valor inicial \(n\) de seu somatório:
\( \sum\limits_{n = 0}^\infty (n + 2)(n + 1)a_{n + 2}x^n + \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n + \sum\limits_{n = 0}^\infty a_nx^n = 0\)
Definindo todos os somatórios para \(n = 1\), teremos que separar o primeiro elemento do somatório de \(y\) e \(y''\):
\( 2a_2 + \sum\limits_{n = 1}^\infty (n + 2)(n + 1)a_{n + 2}x^n + \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n + a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty a_nx^n = 0\)
Agora que todos os três somatórios possuem o mesmo valor inicial para \(n\), podemos juntá-lo em um único somatório:
\( 2a_2 + a_0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty [(n + 2)(n + 1)a_{n + 2}x^n + (n + 1)a_nx^n] = 0\)
Para essa igualdade ser verdadeira, todos os coeficientes de \(x\) precisam ser igual a 0. Dessa forma temos:
\( 2a_2 + a_0 = 0 \)
\((n + 2)(n + 1)a_{n + 2} + (n + 1)a_n = 0 \Rightarrow a_{n + 2} = \dfrac{-1}{n + 2}a_n.\)
Assim podemos calcular o valor de \(a_n\) par e \(a_n\) ímpar:
Resultado:
\(a_{2n} = \dfrac{(-1)^n}{2n}\)
\(a_{2n + 1} = \dfrac{(-1)^{n + 1}}{2n + 1}\)
Podemos então escrever a série \(y\) como:
\(y = A(\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2n}) + B(\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{(-1)^{n + 1}x^{2n + 1}}{2n + 1})\).
