Resolução:Sabendo que \(\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} = e^x \) para todo o \(x\), determinar as somas das séries seguintes pressupondo que é possível operar com séries infinitas como se fossem somas finitas.
\((b)\) \(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n + 1}{n!} \).
Expandindo o somatório temos:
\(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n + 1}{n!} \) = \(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n}{n!} + \sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n!} \)
\(\qquad\qquad \quad \space\space\)= \(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{(n - 1)!} + \sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n!} \)
Podemos reescrever o primeiro somatório dessa soma alterando o valor inicial de \(n\):
\(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n + 1}{n!} \) = \(\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n!} + \sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n!} \)
Desenvolvendo novamente o segundo somatório, dessa vez para \(n = 1\) temos:
\(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n + 1}{n!} \) = \(\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n!} + \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n!} - 1 - 2\)
\(\qquad\qquad \quad \space\space\)= \(2 \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n!} - 3 \)
Sabemos pelo enunciado que \(\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{1^n}{n!} = e^1\), logo nossa série pode escrita como:
Resultado:
\(\sum\limits_{n = 2}^\infty \dfrac{n + 1}{n!} \) = \(2 \cdot e - 3\).
