- Resolver a EDO e obter a soma da série:
f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
\[
y'=x+y
\]
Primeiros calculamos a derivada \(f'(x)=y'\)
\[
y'=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n(n-1)!}
\]
\[
y'=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
\]
\[
y'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
\]
Verifica-se que
\[
x+y= x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
\]
\[
= x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=y'
\]
Sendo assim, considerando a EDO
\[
y'=x+y
\]
\[
y'-y=x
\]
temos que ela é uma EDO de primeira ordem da forma
\[y'+P(x)y=Q(x)\]
com \(P(x)=-1\) e \(Q(x)=x\)
para resolver EDOs desse tipo primeiro calculamos um fator \(e^{\int P(x)dx}\)
\[e^{\int -1 dx}=e^{-x}\]
e multiplicando em ambos os lados da equação
\[
e^{-x}y'-e^{-x}y=xe^{-x}
\]
\[
(e^{-x}y)'=xe^{-x}
\]
integrando, temos que
\[
e^{-x}y=\int xe^{-x}dx
\]
\[
e^{-x}y = -e^{-x} (1 + x)+C
\]
\[
y = \frac{-e^{-x} (1 + x) + C}{e^{-x}}\]
\[
y = -1-x+e^xC
\]
A soma converge para \(-1-x+e^x\).