Problema:
Calcular a série de Fourrier da função:
\(
f(x) =
\begin{cases}
1, & x \in [-\pi, 0] \\
0, & x \in [0, \pi]
\end{cases}
\)
E calcular o seu valor para x = −π, 0, π/3, π/2, π, 17.2π, 18.3π, −152.1π, −733.7π
Resposta:
Primeiramente, como não se trata nem de uma função par ou ímpar, iremos calcular os coeficientes \(a_0, a_n \text{ e } b_n\) dela.
Por definição, teremos:
\(a_0 = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^0 1dx + \int_{0}^\pi 0dx) = \frac{1}{\pi} (\pi + 0) = 1\)
\(a_n = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^0 1.cos(\frac{\pi nx}{\pi})dx + \int_{0}^\pi 0.cos(\frac{\pi nx}{\pi})dx) = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^0 cos(nx)dx + 0) = \frac{1}{\pi}\frac{sen(nx)}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} = \frac{sen(0)}{\pi n} - \frac{sen(-\pi n)}{\pi n} = 0 - 0 = 0\)
\(b_n = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^0 1.sen(\frac{\pi nx}{\pi})dx + \int_{0}^\pi 0.sen(\frac{\pi nx}{\pi})dx) = \frac{1}{\pi} (\int_{-\pi}^0 sen(nx)dx + 0) = \frac{-1}{\pi}\frac{cos(nx)}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} = -\frac{cos(0)}{\pi n} + \frac{cos(-\pi n)}{\pi n} = \frac{-1}{\pi n} + \frac{cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{-1}{\pi n} + \frac{(-1)^n}{\pi n} = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n}\)
Portanto, a série que representa a função pode ser escrita como:
\(f(x) = \frac{1}{2} + \sum \limits_ {n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n - 1}{\pi n}sen(nx)\)
Dessa forma, a função descrita pela série é \(2\pi\)-periódica. Portanto usaremos disso e dos valores da função original em seus pontos contínuos para calcular o valor dela.
f(π/3) = f(π/2) = f(17.2π) = f(−152.1π) = 1
f(18.3π) = f(−733.7π) = 0
Nos pontos x = −π, 0, π, teremos a descontinuidade da função original. Portanto, calculando a série de Fourrier nesses pontos:
Temos que, para qualquer k inteiro, \(sen(\pi k) = 0\). Dessa forma,
\(f(−π) = f(0) = f(π) = \frac{1}{2} + \sum \limits_ {n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n - 1}{\pi n}.0 = \frac{1}{2} + \sum \limits_ {n = 1}^{\infty} 0 = \frac{1}{2}\)