Exercício IV.7.42

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Boa tarde, pessoal!

Para a reta final do curso, escolhi entregar um exercício a respeito do forcing de Jech. Para enunciá-lo, fixamos um cardinal regular não enumerável \(\kappa\). Lembramos que, com a ordem dada pela extensão, \(^{<\kappa}2\) denota a árvore de sequências binárias com ordem tipo \(<\kappa\). Com isso, a ordem \(\mathbb{P}\) adotada pelo forcing de Jech possui como elementos as sub-árvores de \(^{<\kappa}2\) descritas por um dos seguintes critérios:

• \(\mathbb{1}\) é a sub-árvore vazia;

• \(p\in \mathbb{P}\) é uma sub-árvore de \(^{<\kappa}2\) com altura \(\alpha+1\) para algum ordinal \(\alpha < \kappa\) limite e \(|p|<\kappa\). Exigimos ainda que, para toda sequência \(s\in p\) com altura menor que \(\alpha\), tenhamos \(s\frown 0 \in p\) e \(s\frown 1 \in p\), além de um limite \(t\in p\) de ordem tipo \(\alpha\) que estende \(s\).

Com isso, dados elementos \(p,q \in \mathbb{P}\), escrevemos \(p \leq q\) sempre que \(q\) for uma extensão de \(p\). Mais precisamente, se \(p\) e \(q\) têm alturas \(\alpha+1\) e \(\beta+1\) respectivamente, então \(\alpha \leq \beta\) e \( p = \{s\in q : \text{ o comprimento da sequência }s\text{ é no máximo }\alpha\}\).

O exercício escolhido, de número IV.7.42, tem então o seguinte enunciado:

Mostre que a intersecção de menos que \(\kappa\) abertos densos de \(\mathbb{P}\) é ainda densa em \(\mathbb{P}\). Como forcing, mostre que \(\mathbb{P}\) não adiciona sequências de ordem tipo menor que \(\kappa\). Isto é, em uma notação abusiva, dado \(\delta < \kappa\), conclua que \(\mathbb{1} \Vdash \forall f [(f : \check{\delta} \to \check{V}) \to (f \in \check{V})]\), onde \(V\) representa o universo de von Neumann.

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Resolução:

Vamos primeiro mostrar que a ordem \(\mathbb{P}\) é \(\kappa-\)Baire, no sentido de que a intersecção de menos que \(\kappa\) abertos densos em \(\mathbb{P}\) é ainda densa em \(\mathbb{P}\). Para tanto, seja \(\{D_{\alpha}\}_{\alpha < \lambda}\) uma família de \(\lambda\) abertos densos de \(\mathbb{P}\), em que \(\lambda < \kappa\). Fixado \(p\in\mathbb{P}\), então, devemos exibir \(q\in D = \displaystyle \bigcap_{\alpha < \lambda}D_{\alpha}\) tal que \(q \leq p\). Para isso, para cada \(\alpha \leq \lambda\) e cada sequência binária \(s\in \phantom{i}^{<\kappa}2\), vamos construir indutivamente uma árvore \(p_{\alpha}\in \mathbb{P}\) e uma sequência \(s_{\alpha}\in \phantom{i}^{<\kappa}2\) com as seguintes propriedades:

• \(p_{\alpha}\in D_{\alpha}\) se \(\alpha < \lambda\). Além disso, se \(\beta < \alpha\), teremos \(p_{\alpha} < p_{\beta}\). Em particular, denotando suas alturas por \(h_{\alpha}\) e \(h_{\beta}\), devemos ter \(h_{\alpha}>h_{\beta}\) pela definição de \(\leq\);

• \(s\) é um segmento inicial da sequência \(s_{\alpha}\), bem como \(s_{\beta}\) é um segmento inicial de \(s_{\alpha}\) se \(\beta < \alpha\). Se \(s\notin p_{\alpha}\), tem-se \(s_{\alpha} = s\). Se não, \(s_{\alpha}\) é uma sequência de altura máxima em \(p_{\alpha}\) estendendo \(s\).

Naturalmente, como \(D_0\) é denso em \(\mathbb{P}\), escolha \(p_0 \in D_0\) com \(p_0 \leq p\). Se \(s \notin p_0\), defina \(s_0 = s\). Caso contrário, pela definição de \(\mathbb{P}\), existe \(s_0 \in p_0\) uma sequência de altura \(h_0\) que estende \(s\). Suponha então definidos \(p_{\beta}\) e \(s_{\beta}\) para todo ordinal \(\beta < \alpha\). Para definirmos \(p_{\alpha}\), consideramos os seguintes dois casos:

• Se \(\alpha = \gamma+1\) para algum ordinal \(\gamma\), a densidade de \(D_{\alpha}\) nos permite escolher \(p_{\alpha}\in D_{\alpha}\) com \(p_{\alpha}\leq p_{\gamma}\). Porém, vamos argumentar ainda porquê essa escolha pode ser feita de modo que \(p_{\alpha}\neq p_{\gamma}\). Para tanto, seja \(S_{\gamma}\) os elementos de \(p_{\gamma}\) com altura máxima. Defina então uma subárvore \(p'\) de \(^{<\kappa}2\) de acordo com o seguinte procedimento: para cada \(s \in S_{\gamma}\) e \(F\) sequência binária finita, tem-se \(s^{\frown}F \in p'\). Uma vez que \(|S_{\gamma}|<\kappa\), tem-se que \(|p'|<\kappa\). Por outro lado, a altura de \(p'\) é o ordinal limite \(h_{\gamma}+\omega\), de forma que \(p'\notin \mathbb{P}\). Por esse motivo, considere \(p''\) a extensão de \(p'\) com altura \(h_{\gamma}+\omega+1\) dada pela seguinte imposição: para cada sequência binária finita \(F\) e cada \(s\in S_{\gamma}\), fixe \(\overline{F}\) uma extensão infinita dela e defina \(s^{\frown}\overline{F}\in p'\). Uma vez que existem apenas enumeráveis sequências binárias finitas, tem-se também que \(|p''|<\kappa\), de modo que \(p'' \in \mathbb{P}\) e, por construção, \(p'' < p_{\gamma}\). A densidade de \(D_{\alpha}\), então, nos permite escolher \(p_{\alpha}\leq p'' < p_{\gamma}\). Por fim, se \(s\notin p_{\alpha}\), defina \(s_{\alpha} = s\). Se \(s \in p_{\alpha}\setminus p_{\gamma}\), porém, existe uma única sequência \(s' \in S_{\gamma}\) de maneira que \(s = s'^{\frown}F\) para alguma sequência binária finita \(F\). Nesse caso, considere \(s_{\alpha} = s^{\frown}\overline{F}\). Caso \(s\in p_{\gamma}\), por indução temos \(s_{\gamma}\in S_{\gamma}\). Com isso, defina \(s_{\alpha} = s_{\gamma}^{\frown}\overline{(0)}\);

• Se \(\alpha\) é um ordinal limite, como \(p_{\beta}<p_{\gamma}\) se \(\gamma < \beta\), tem-se que \(p' = \displaystyle \bigcup_{\beta < \alpha} p_{\beta}\) é uma sub-árvore de \(^{<\kappa}2\). Mais do que isso, sua altura é \(h_{\alpha}' := \displaystyle \sup_{\beta < \alpha}h_{\beta} \), disso decorrendo também que \(p_{\beta} = \{s \in p' : s\text{ tem ordem tipo no máximo }h_{\beta}\}\). Observamos ainda que, pela regularidade de \(\kappa\), \(|p'|<\kappa\) e \(h_{\alpha}'<\kappa\). Porém, \(p'\notin \mathbb{P}\), pois sua altura é um ordinal limite. Nesse caso, para todo \(s\in p'\), tem-se que \(s_{\alpha}: = \displaystyle \bigcup_{\beta < \alpha}s_{\beta}\) tem altura \(h_{\alpha}'\) por indução. Defina então a extensão \(p''\) de \(p'\) com altura \(h_{\alpha} = h_{\alpha}'+1\) pondo \(s_{\alpha}\in p''\) para todo \(s\in p'\). Visto que \(|p'|<\kappa\), tem-se também que \(|p''|<\kappa\), de modo que \(p'' \in \mathbb{P}\). Portanto, se \(\alpha < \lambda\), recorrendo à densidade de \(D_{\alpha}\) escolha \(p_{\alpha}\in D_{\alpha}\) com \(p_{\alpha}<p''\). Finalmente, considere \(p_{\lambda} = p''\) caso \(\alpha=\lambda\).

Em particular, ao final da construção, temos \(p_{\lambda} < p_{\alpha}\) para todo \(\alpha < \lambda\). Uma vez que \(D_{\alpha}\) é um aberto contendo \(p_{\alpha}\), temos também \(p_{\lambda} \in D_{\alpha}\) para todo \(\alpha < \lambda\). Assim, \(q = p_{\lambda}\) é tal que \(q \in D = \displaystyle \bigcap_{\alpha < \lambda}D_{\alpha}\) e \(q < p\), finalizando a verificação de que \(D\) é denso em \(\mathbb{P}\).

Vamos agora mostrar que \(\mathbb{P}\) não cria sequências de ordens tipo menores que \(\kappa\). Em outras palavras, dados \(\delta < \kappa\) e \(E\) um conjunto, mostraremos que \(1 \Vdash \forall \dot{f}[(\dot{f} : \check{\delta}\to \check{E})\to (f\in \check{V})]\), em que \(V\) denota o universo de von Neumann. Ou seja, para todo nome \(\dot{f}\), concluiremos que \(1 \Vdash (\dot{f} : \check{\delta}\to \check{E})\to (f\in \check{V})\). Para tanto, seja \(p\in \mathbb{P}\) tal que \(p \Vdash \dot{f} : \check{\delta}\to \check{E}\). Então, para cada \(\xi < \delta\), considere o conjunto \(D_{\xi} = \{q \in \mathbb{P}: q \perp p \vee [\exists e \in E(q \Vdash \dot{f}(\check{\xi}) = \check{e})]\}\). Vamos argumentar que \(D_{\xi}\) é denso em \(\mathbb{P}\) para cada \(\xi < \delta\). De fato, dado \(r\in \mathbb{P}\), se \(r\perp p\) então \(r \in D_{\xi}\) e \(r \leq r\). Caso exista \(r' \leq p,r\), por sua vez, tem-se que \(r' \Vdash \dot{f}:\check{\delta}\to \check{E}\) (pois \(r' \leq p\)). Em particular, \(r'\Vdash \exists e\in E(\dot{f}(\check{\xi}) = \check{e})\), disso decorrendo que existem \(q \leq r'\) e \(e \in E\) tais que \(q \Vdash \dot{f}(\check{\xi}) = \check{e}\). Uma vez que \(q \leq r' \leq p\) e \(q \in D_{\xi}\), estabelecemos que \(D_{\xi}\) é denso em \(\mathbb{P}\).

Além disso, cada \(D_{\xi}\) é aberto em \(\mathbb{P}\), pois, dados \(q,q' \in \mathbb{P}\) com \(q \leq q'\) e \(q'\in D_{\xi}\), tem-se que \(q \perp p\) caso \(q' \perp p\) e \(q' \Vdash \dot{f}(\check{\xi}) = \check{e} \) se existe \(e\) tal que \(q \Vdash \dot{f}(\check{\xi}) = \check{e} \). Portanto, pelo que verificamos anteriormente, \(D = \displaystyle \bigcap_{\xi < \delta}D_{\xi}\) é denso em \(\mathbb{P}\). Portanto, existe \(q \in D\) tal que \(q \leq p\). Com isso, para todo \(\xi < \delta\), deve haver \(g(\xi)\in E\) tal que \(q\Vdash \dot{f}(\check{\xi}) = \check{g(\xi)}\). Ou seja, isso define uma função \(g : \delta \to E\) tal que \(q\Vdash \forall x\in \check{\delta} (\dot{f}(x) = \check{g}(x))\), isto é, \(q \Vdash \dot{f} = \check{g}\). Logo, \(q\Vdash \dot{f}\in \check{V}\). Como \(q\leq p\), provamos que \(1 \Vdash (\dot{f} : \check{\delta}\to \check{E})\to (f\in \check{V})\).

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Comentários adicionais:

A família de forcings de Jech, parametrizada pelo cardinal \(\kappa\) como no exercício acima, tem a propriedade interessante de produzir árvores de Suslin em suas extensões genéricas. Nos próximos parágrafos, vamos mostrar como isso é feito. Para tanto, primeiro é necessário definir essas árvores e estabelecer algumas convenções. Assim, fixado um cardinal regular não enumerável \(\kappa\), uma \(\kappa-\)árvore de Suslin é uma árvore \((T,\preceq)\) que satisfaz os seguintes axiomas:

• \(T\) tem altura \(\kappa\), mas todos os seus níveis têm tamanho menor que \(\kappa\);

• Todas as cadeias e anticadeias de \(T\) possuem tamanho menor que \(kappa\). Para evitarmos confusões futuras, relembramos que uma anticadeia em uma árvore corresponde a um subconjunto de \(T\) cujos elementos são dois a dois incomparáveis com respeito a \(\preceq\).

Em geral, uma \(\omega_1-\)árvore de Suslin é dita ser simplesmente uma árvore de Suslin, e pode ser obtida, por exemplo, ao assumirmos o princípio \(\diamond\). Inclusive, o forcing \(\mathrm{Fn}_{\omega_1}(\omega_1,2)\), que verifica a consistência desse princípio, também mostrar que a existência de árvores de Suslin é consistente com \(\mathrm{ZFC}\). Porém, ordens similares a essas não identificam \(\kappa-\)árvores de Suslin se \(\kappa > \omega_1\), exigindo técnicas alternativas. Para argumentarmos como o forcing de Jech é útil nesse contexto, fixaremos \(\kappa\) um cardinal regular não enumerável e consideraremos \(\mathbb{P}\) como a ordem definida no exercício acima. Em particular, vale a seguinte observação:

Afirmação: \(\mathbb{P}\) preserva cardinais menores ou iguais a \(\kappa\), isto é, \(1\Vdash \dot{\delta} = \check{\delta}\) para todo cardinal \(\delta \leq \kappa\).

Prova: Cardinais enumeráveis são preservamos por absolutividade. Para concluir que os demais cardinais são preservados, por sua vez, basta mostrar que cofinalidades no máximo \(\kappa\), ao menos, são preservadas. De fato, seja \(\alpha\leq \kappa\) um ordinal e considere \(\beta\) sua cofinalidade. Se \(\check{\beta}\) não é a cofinalidade de \(\check{\alpha}\), então existe \(\dot{f}\) um nome e \(q\in \mathbb{P}\) tais que \(q\Vdash \dot{f}:\check{\delta}\to \check{\alpha} \text{ é cofinal} \), para algum cardinal \(\delta < \beta \leq \kappa\). Porém, pelo exercício anterior, \(p\Vdash \dot{f} = \check{g}\) para certos \(p \in \mathbb{P}\) e certa aplicação \(g : \delta \to \alpha\). Isto é, por absolutividade da definição de cofinalidade, \(g\) é uma função cofinal de \(\delta\) em \(\alpha\), contradizendo o fato de que \(\beta\) é a cofinalidade de \(\alpha\). \(\square\)

Logo, nas discussões que se seguem, podemos ignorar os símbolos \(\dot{\phantom{o}}\) e \(\check{\phantom{o}}\) sobre cardinais menores ou iguais a \(\kappa\). Assim, seja \(\dot{G}\) o filtro genérico obtido pelo forcing \(\mathbb{P}\) e, pelo princípio do máximo, considere \(\check{T}\) o nome \(\check{T} = \bigcup \check{G}\). Simplesmente por ser um filtro, \(\check{T}\) está bem definida como uma subárvore de \(^{<\kappa}2\). Vamos demonstrar que ela é a \(\kappa\) árvore de Suslin procurada, na extensão genérica. Nessa direção, uma observação útil é dada por:

Afirmação: Para cada ordinal \(\delta < \kappa\), o conjunto \(D_{\delta} = \{p\in \mathbb{P} : \text{ a altura de }p\text{ é estritamente maior que }\delta\}\) é denso em \(\mathbb{P}\).

Prova: Vamos verificar essa afirmação por indução sobre \(\delta\), sendo o caso inicial \(\delta = 0\) válido trivialmente. Para tanto, observamos que \(D_{\delta}\) é um aberto de \(\mathbb{P}\) para todo \(\delta < \kappa\), pois, se \(p\in D_{\delta}\), toda extensão de \(p\) tem também altura estritamente maior que \(\delta\). Logo, ao assumirmos por indução que \(D_{\eta}\) é denso em \(\mathbb{P}\) para todo \(\eta < \delta\), o exercício acima nos garante que \(D = \displaystyle \bigcap_{\xi < \delta}D_{\xi}\) é também denso em \(\mathbb{P}\). Logo, dado \(p \in \mathbb{P}\), existe \(p' \in D\) com \(p' \leq p\). Pela definição de \(p'\) deve ter altura pelo menos \(\delta\). Seja \(S_{p'}\) o conjunto de seus pontos de altura máxima. Vamos descrever uma condição de forcing \(q\) que estende \(p'\). Para cada \(s\in S_{p'}\) e cada sequência binária finita \(F\), declare \(s^{\frown}F \in q\). Mais do que isso, para cada tal sequência \(F\), fixe \(\overline{F}\) uma extensão arbitrária de ordem tipo \(\omega\) e declare também \(s^{\frown}\overline{F}\in q\). Definida dessa forma, \(q \in \mathbb{P}\) tem altura \(h_{p'}+\omega\), em que \(h_{p'}\) é altura de \(p'\). Visto que \(h_{p'}\geq \delta\), segue que \(q < p\) e \(q\in D_{\delta}\), verificando que \(D_{\delta}\) é denso em \(\mathbb{P}\). \(\square\)

Consequentemente, para todo \(\delta < \kappa\), \(1 \Vdash \dot{G}\cap \check{D_{\delta}}\neq \emptyset\), de onde segue que a altura de \(\check{T}\) é \(\kappa\). Mais do que isso, um nível \(\alpha\) de \(\check{T}\) coincide com o nível \(\alpha\) de uma árvore \(p \in \check{G} \in D_{\alpha+1}\). Como \(|p|<\kappa\) pela definição de \(\mathbb{S}\), segue que o nível \(\alpha\) de \(\check{T}\) tem tamanho menor que \(\kappa\). Vamos agora argumentar que cadeias em \(T\) têm tamanho estritamente menor que \(\kappa\). Para isso, fazemos uso da seguinte observação:

Afirmação: Seja \(s: \kappa \to 2\) uma sequência binária de ordem tipo \(\kappa\). Vamos dizer que \(p\in \mathbb{P}\) trunca \(s\) se \(s|_{h_p}\in p\), em que \(h_p\) denota a altura de \(p\). Então, o conjunto \(E_s = \{q\in \mathbb{P}: q\text{ não trunca }s\}\) é denso em \(\mathbb{P}\).

Prova: Fixe \(p\in \mathbb{P}\) qualquer. Se \(p\) não trunca \(s\), então \(p\in E_s\) e \(p\leq p\). Suponha então que \(p\) trunca \(s\). Em particular, \(s' = s|_{h_p}\in S_p\), em que \(S_p\) é o conjunto das sequências de comprimento máximo em \(p\). Vamos agora definir \(q\) uma extensão de \(p\). Para isso, dados \(t \in S_p\setminus \{s'\}\) e \(F\) uma sequência binária finita, fixe \(\overline{F}\) uma sequência binária de ordem tipo \(\omega\) que estende \(F\) e declare \(t^{\frown}F,t^{\frown}\overline{F}\in q\). Para cada sequência binária finita \(F\), entretanto, escolha \(\overline{F}\) de forma que \(s'^{\frown}\overline{F}\) não seja um segmento inicial de \(s\). Assim, declare também \(s'^{\frown}F,s'^{\frown}\overline{F}\in q\). Com essas escolhas de \(\overline{F}\), temos que \(s|_{h_q}\notin q\), em que \(h_q\) denota a altura de \(q\). Ou seja, \(q\in E_s\) e \(q \leq p\), verificando a densidade de \(E_s\). \(\square\)

Assim, considere uma sequência binária \(s\) tal que, para algum \(p\in\mathbb{P}\), \(p \Vdash \check{s}\text{ é uma cadeia de }\dot{T}\). Se \(s\) tem ordem tipo \(\kappa\), a afirmação acima nos garante que existe \(q \in \dot{G}\cap E_s \), visto que \(\dot{G}\) é um filtro genérico. Nesse caso, se \(h_q\) denota a altura de \(q\), tem-se que \(s|_{h_q}\notin q\), de onde seque que \(s|_{h_q}\notin \dot{T}\). Portanto, devemos ter \(p\Vdash |\check{s}| < \kappa\).

Finalmente, vamos mostrar que \(\dot{T}\) não tem anticadeias de tamanho \(\kappa\), isto é, que, dado \(\dot{A}\) um nome, \(1\Vdash (\dot{A}\text{ é anticadeia maximal}) \to (|\dot{A}|<\kappa)\). Para tanto, fixe \(p\in\mathbb{P}\) tal que \(p\Vdash \dot{A} \text{ é uma anticadeia maximal}\). Declarando \(p_0 = p\) e supondo definida uma condição de forcing \(p_n\), observamos que, para cada \(s\in p_n\), o conjunto \(H_s = \{q\in \mathbb{P}: q\Vdash \check{s}\in \dot{A} \text{ ou existe }\check{s'}\text{ nome tal que } p\Vdash \check{s'} \in \dot{A}\wedge s\preceq s' \text{ ou }p\Vdash \check{s'} \in \dot{A}\wedge s'\prec s \}\) é aberto (por ser fechado para baixo) e denso em \(\mathbb{P}\). Aqui, a notação \(s \preceq s'\) indica que a sequência \(s\) é um segmento inicial da sequência \(s'\), correspondendo à ordem natural de \(^{<\kappa}2\). A densidade de \(H_s\), então, decorre da maximalidade de \(\dot{A}\) e do fato de que a fórmula \(\check{s}\notin \dot{A}\) é a negação da fórmula \(\check{s}\in \dot{A}\). Assim, pelo exercício anterior, existe \(p_{n+1}\in \displaystyle \bigcap_{s \in p_n}H_s\) com \(p_{n+1}< p\). Considere então o conjunto \(\tilde{A} = \left\{s\in \displaystyle \bigcup_{n < \omega}p_n : \exists n<\omega \phantom{i}(p_n \Vdash \check{s}\in \dot{A})\right\}\). Se \(\displaystyle \bigcup_{n<\omega}p_n\) tem altura (limite) \(\gamma\), por meio dos seguintes critérios vamos definir \(q\) uma condição de forcing com altura \(\gamma+1\) que estende \(\displaystyle \bigcup_{n < \omega}p_n\):

• Para todo \(s\in \tilde{A}\), escolhemos \(\overline{s}\) uma sequência binária de ordem tipo \(\gamma\) que a estende e declaramos \(\overline{s}\in q\);

• Se \(s\in \displaystyle \bigcup_{n<\omega}p_n\) mas \(s\notin \tilde{A}\), existe \(\check{s'}\) nome tal que \(p_n \Vdash \check{s'}\in \dot{A}\wedge s\preceq s'\) ou \(p\Vdash \check{s'} \in \dot{A}\wedge s'\prec s \), para algum \(n < \omega\). Em particular, \(s'\in \tilde{A}\). Se o primeiro caso ocorre, nada faça. No segundo caso, escolha \(F\) uma sequência binária de ordem tipo \(\omega\) qualquer e declare \(s^{\frown}F \in \omega\).

Portanto, de acordo com esta construção, os pontos de altura máxima de \(q\) possuem elementos de \(\tilde{A}\) como segmentos iniciais. Isso significa que, se \(q'\) é uma extensão de \(q\) e \(s\in q'\setminus q\), então \(s\) é comparável com algum elemento de \(\tilde{A}\), uma vez que é comparável com algum elemento de altura máxima em \(q\). Ou seja, \(q\Vdash \tilde{A}=\dot{A}\), pois \(q \leq p_n\) para todo \(n<\omega\). Como \(|\tilde{A}| \leq |q| < \kappa\), segue o resultado.