[Resolução] 10.4.25

[filipe.lemos]

Exercício 10.4.25

Cada uma das sucessões \(\{a_{n}\}\) nos Exercícios 23 a 28 é convergente, portanto, para cada \(\epsilon > 0\) previamente dado, existe um inteiro N (dependendo de \(\epsilon\)) tal que \(|a_{n}-L| < \epsilon\) se \(n \geq N\), sendo \(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} = L\). Determinar, em cada caso, o valor de N adequado a cada um dos seguintes valores de \(\epsilon = {1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001}\).

Considerando,
\(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} = L\)
\(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \frac{1}{n}(-1)^{n+1}\)

Temos que

Se
\(\lim_{n\rightarrow\infty} {\frac{1}{n}} = 0 \),
então
\(L = \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}(-1)^{n+1} = 0\)

\(|a_{n}| = \frac{1}{n}\) (numerador apenas alterna o sinal da fração)

Desse modo,

\(|a_{n} - L| < \epsilon\)

\(|a_{n}| < \epsilon\)

\(\frac{1}{n} < \epsilon\)

\(n > \frac{1}{\epsilon}\)

Como procurávamos \(n \geq N\), podemos assumir que \(N(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon}\).

Logo, para \(\epsilon = \{1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001\}\), temos respectivamente \(N = \{1, 10, 100, 1000, 10000\}.\)

[ZenaoDeEleia]

Todos os \(N\) sofreram de um erro por um. Precisamos de um \(N\) tal que \(|\alpha_n-L|<\epsilon\) se \(n \ge N\). Pegando \(\epsilon = 1\) como exemplo, se \(n > \frac{1}{\epsilon} \) e \(n = N = 1\) temos que \(1 \ngtr 1\), então \(N\) precisa ser \(2\).