[Resolução] 10.4.9

[Gabriel Giovanazzi]

Enunciado: dada a sequência f(n) definida pela seguinte fórmula:
\(f(n) = 2^{\tfrac{1}{n}}\)

Responda às seguintes questões:

(a)A sequência converge ou diverge?
(b)Qual é o limite dela caso seja convergente?

Primeiramente, vamos analisar os 3 primeiros termos da sequência:

\( a_1 = 2^{\tfrac{1}{1}} = 2 \\
a_2 = 2^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{2} \\
a_3 = 2^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \\\)

Notamos, pela lei de formação, que esta sequência é monótona e convergente.

Agora vamos analisar somente a potência \(\dfrac{1}{n}\)

\(\lim_{n \to \infty} \tfrac{1}{n} = 0 \).

Logo, \(\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{n} = 2^0 = 1 \).

Portanto, as respostas são:

(a) A sequência converge
(b) O limite dela é 1