Na apostila, o Exercício 3.4.12 tem o seguinte enunciado:
Sejam \(\tau\) um nome e \(x\) um conjunto. Se \([\tau \in \check{x}] \neq 0\), mostre que existe \(y\in x\) tal que \([\tau \in \check{x}] \leq [\check{y} = \tau].\)
Utilizando as definições dos nomes check, sai com bastante facilidade uma desigualdade do tipo \( [\tau \in \check{x}] \geq [\check{y} = \tau]\), para todo \(y\in x\) inclusive. Isso sequer utiliza a hipótese de que \([\tau \in \check{x}] \neq 0\).
Porém, não consigo encontrar a desigualdade pedida. O que eu tenho tentado até o momento segue o seguinte roteiro:
- Primeiro, observo que, dados \(y_1,y_2 \in x\) distintos, devemos ter \([\check{y_1} = \check{y_2}] = 0\). Isso significa, em particular, que \( [\check{y_1}=\tau]\cdot [\tau = \check{y_2}] = 0\).
- Utilizando a definição do valor booleano para fórmulas atômicas e a definição dos nomes check, sabemos que \([\tau \in \check{x}] = \displaystyle \sup_{y\in x}[\tau = \check{y}]\). Porém, pensando o supremo como uma união na álgebra dos conjuntos, o item anterior afirma que a união que define \([\tau \in \check{x}]\) é disjunta.
- Com isso, o exercício nos pede para verificar que \([\tau = \check{y}] \neq 0\) para exatamente um \(y\in x\). Entretanto, não estou vendo porque isso sempre ocorre.