[Resolução] 11.7.15

[filipe.lemos]

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{a^{n}+ b^{n}}\)

1) Assumindo:

• \(b > a\) (lembrando que a mesma lógica deve ser aplicada para a hipótese contrária \(a > b)\):

• Critério da Razão

\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{C_{n+1}}{C_n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{a^{n+1}+b^{n+1}}}{\frac{1}{a^{n}+b^{n}}} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{a^{n}}{b^{n}}+\frac{b^{n}}{b^{n}}}{\frac{a.a^{n}}{b^{n}}+\frac{b.b^{n}}{b^{n}}} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{1+(\frac{a}{b})^{n}}{a.(\frac{a}{b})^{n}+ b} = \frac{1}{b}\)

\(\therefore\) Se \(b > 1 \to\) converge, mas se \(b < 1 \to\) diverge.

2) Por outro lado, assumindo:

• b = a, temos que:

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{a^{n}+ a^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{2.a^{n}} = \frac{1}{2}.\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{z}{a})^{n}\)

• Pelo Critério da Razão:

\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{C_{n+1}}{C_n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{a^{n+1}}}{\frac{1}{a^{n}}} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{a} = \frac{1}{a}\)

\(\therefore\) Se \(a > 1 \to \) converge, mas se \(a < 1 \to\) diverge.