[Resolução] 10.4.5

[joaogmarinho]

10.4.5

Enunciado:

\(
f(n) = \frac{n}{2^n}
\)

Apesar de não ser estritamente crescente ou decrescente, eventualmente é decrescente, limitada inferiormente em 0, portanto converge.

Podemos calcular manualmente substituindo a sequência por uma função com limite tendendo ao infinito no formato:

\(
\lim_{ x \to +\infty} f(x) =\frac{x}{2^x}
\)

Aplicando L'Hopital:

\(
\lim_{ x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{2^x ln2} \\

f(x) = \frac{1}{+\infty} = 0
\)

[ZenaoDeEleia]

Apesar de não ser estritamente crescente ou decrescente, eventualmente é decrescente

Eu diria que a sequência é simplesmente decrescente. Segundo a definição, uma sequência é dita decrescente se \(f(n) \geq f(n+1)\) para todo \(n \geq 1\) .

\[
\begin{align*}
f(n) &\geq f(n+1) \\
\frac{n}{2^n} &\geq \frac{n+1}{2^{n+1}} \\
2^{n+1}n &\geq 2^n(n+1) \\
2^n\cdot2n &\geq 2^n(n+1) \\
2n &\geq n+1 \\
2n -n -1 &\geq 0 \\
n - 1 &\geq 0 \qquad \text{ para todo } n \geq 1 \quad \Box
\end{align*}
\]

[joaogmarinho]

Justo. Creio que utilizei a palavra eventualmente incorretamente.