Enunciado
Prove that
\(
\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(k) \leq \int_1^n f(x) dx \leq \sum\limits_{k=2}^{n} f(k)
\)
where \(f\) is a nonnegative, increasing function defined for all \(x \geq 1.\)
Use this to deduce the inequalities
\[ e n^n e^{-n} < n! < e n^{n+1} e^{-n} \]
by taking \[f(x) = \log x.\]
Resolução:
Uma vez que \(f(x)\) está aumentado, no sabemos \[f([x]) \leq f(x) \leq f([x+1])\] (onde \([x]\) representa o maior inteiro menor ou igual a \(x\)) para todos os \(x \geq 1\). Definindo s e g por:
\[ s(x) = f([x]), \qquad t(x) = f([x+1]). \]
Assim s e t sao constantes no subintervalo aberto na partição:
\[ P = \{ 0,1,2, \ldots, n \}. \]
Então:
\begin{align*} \int_1^n s(x) \, dx = \sum_{k=1}^{n-1} s_k (x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \\[9pt] \int_1^n t(x) \, dx = \sum_{k=1}^{n-1} t_k (x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k+1) = \sum_{k=2}^n f(k). \end{align*}
Uma vez que f é integrado:
\[ \int_1^n s(x) \, dx \leq \int_1^n f(x) \, dx \leq \int_1^n t(x) \, dx \]
para cada passo das funções \(s\leq f \leq t\):
\[ \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \leq \int_1^n f(x) \, dx \leq \sum_{k=2}^n f(k). \qquad \]
Em seguida, se usarmos \(f(x) = \log x\) temos:
\begin{align*} &&\sum_{k=1}^{n-1} \log k \leq \int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{k=2}^n \log k \\[9pt] \implies && \log(n-1)! \leq n \log n - n + 1 \leq \log n! \\[9pt] \implies && (n-1)! \leq e n^n e^{-n} \leq n!. \end{align*}
Assim obtemos duas desigualdades:
\[ n! \leq en^{n+1} e^{-n} \quad \text{and} \quad e n^n e^{-n} \leq n!. \]
Logo:
\[ en^n e^{-n} \leq n! \leq e n^{n+1} e^{-n}. \]