Enunciado
Determine se a série a seguir converge absolutamente ou condicionalmente:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$$
Resolução
Temos pelo critério de Leibniz que a série acima é convergente, uma vez que a mesma é decrescente e possui:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$
No entanto, a série absoluta \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\) é divergente.
Essa divergência pode ser garantida pelo critério de comparação com a série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\). Temos que:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} $$
Portanto, podemos concluir que a série é condicionalmente convergente.