\(\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{nlog(n)\cdot(log(log(n)))^s} \)
É fácil perceber que a sequência é positiva e decrescente, visto que o denominador é sempre positivo e crescente. Também pode-se que, por a sequência começar em n=3, não há descontinuidades. Sendo assim, é possível realizar o teste da integral.
Seja:
\(f(x) = \frac{1}{xlog(x)\cdot(log(log(x)))^s} \)
\(F(x) = \int^{\infty}_{3} f(x) dx = \int^{\infty}_{3}\frac{1}{xlog(x)\cdot(log(ln(x)))^s}dx \)
Se s = 1:
\(F(x) = \int^{\infty}_{3} f(x) dx = \lim_{n\rightarrow\infty} ln(ln(ln(x)))-ln(ln(ln(3)))\)(Diverge)
Se s \(=\) 0:
\(F(x) = \int^{\infty}_{3} f(x) dx = \lim_{n\rightarrow\infty} ln(ln(x))-ln(ln(3))\)(Diverge)
Se s \(\neq\) 1 e s \(\neq\) 0:
\(F(x) = \int^{\infty}_{3} f(x) dx = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ln(ln(x))^{-s+1}}{-s+1} - \frac{ln(ln(3))^{-s+1}}{-s+1}\)(Converge para s>1, c.c. diverge)